나달·바인스톡 탈선계수식

왜 배우는가: 탈선계수식은 철도차량이 곡선 구간을 안전하게 통과하는지 판정하는 가장 기본적인 식이다. 설계 단계에서는 플랜지각과 마찰계수를 가정해 임계값을 정하고, 운영 단계에서는 측정한 횡압과 윤중의 비를 이 값과 비교해 탈선 위험을 판단한다. 시험에서는 유도 과정, 가정, 바인스톡식과의 비교를 함께 묻는 경우가 많다.

출제 이력: 제139회 3교시 4번, 제128회 2교시 4번, 제118회 4교시 1번, 제115회 3교시 2번, 제104회 4교시 6번, 제100회 1교시 6번, 제95회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

나달식과 바인스톡식은 횡압과 윤중의 비인 탈선계수로 차륜의 플랜지 타고오름 탈선 임계 상태를 판정하는 식이다 두 식은 같은 탈선계수를 쓰지만 평가 대상이 다르다. 나달식은 플랜지가 접촉한 한 차륜의 힘 관계를 기준으로 하고, 바인스톡식은 윤축 양 차륜의 힘을 합산해 판정한다.

탈선계수는 차륜이 레일 위로 올라타기 직전의 한계를 수치로 나타내므로, 탈선 안전성을 정량적으로 평가하는 기본 도구이다. 탈선계수가 커질수록 플랜지가 레일 두부 위로 올라갈 위험이 커진다는 것이 이 식들의 핵심 해석이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 탈선계수(Q/P): 횡압 Q를 윤중 P로 나눈 값으로, 탈선 안전성을 판정하는 무차원 지표이다.
• 횡압(Q): 차륜이 레일을 바깥쪽으로 미는 수평력이다.
• 윤중(P): 차륜이 레일을 누르는 수직력이다.
• 플랜지각(α): 플랜지 접촉면이 수평면과 이루는 각이다.
• 표면마찰계수(μ): 차륜과 레일 접촉면에서 작용하는 마찰계수이다.
• 타고오름 탈선: 플랜지가 레일 두부 위로 올라타서 일어나는 탈선이다.
• 미끄러져 오름 탈선: 마찰이 작은 상태에서 차륜이 레일 면 위로 미끄러져 올라가는 탈선이다.

2. 개념 풀이

나달식은 차륜이 레일 위로 올라타기 시작하는 임계 상태를 힘의 평형으로 구한 식이다. 플랜지 접촉 차륜은 답면이 레일 두부와 접촉하고 플랜지부가 게이지 코너와 접촉하는 두 점에서 지지된다. 나달식은 2점 접촉과 양의 공격각을 전제로 한 식이다 횡압 Q가 플랜지를 레일 쪽으로 밀어 올리려 하면, 플랜지 접촉점의 법선력 N은 플랜지 면에 수직으로 작용하므로 플랜지각 α만큼 기울어진 방향으로 힘을 받는다.

접촉점에서 마찰력 μN은 차륜이 올라타는 것을 방해하는 방향으로 작용한다. 임계 상태에서 N, μN, P, Q 사이의 힘 평형을 풀면 다음 두 관계가 성립한다. $Q = N(sin α − μ cos α), P = N(cos α + μ sin α)$ 여기서 N은 법선력, α는 플랜지각, μ는 표면마찰계수이다. 두 식의 비에서 N이 소거되므로 임계 탈선계수는 플랜지각과 마찰계수만으로 정해진다. $(Q/P)_cr = (tan α − μ) / (1 + μ tan α)$ 실측 Q/P가 이 임계값에 도달하거나 넘으면 플랜지가 레일 두부 위로 올라타는 타고오름 탈선이 시작될 수 있다. 타고오름 탈선의 임계 조건은 Q/P가 임계 탈선계수에 도달하는 것이다 식으로 얻은 임계 탈선계수는 정적 힘 평형의 결과이므로, 실제 주행에서 횡압과 윤중이 시간에 따라 변동하는 현상은 식에 직접 반영되지 않는다. 따라서 식의 값은 측정 자료의 시간 이력과 함께 해석해야 한다. 식의 구조를 이해하면 플랜지각이 커지거나 마찰계수가 달라질 때 임계값이 어떻게 변하는지 설명할 수 있다.

마찰계수가 작은 조건에서는 마찰력이 올라타기를 충분히 막지 못하고, 횡압이 차륜을 레일 면 위로 미끄러뜨려 올리는 미끄러져 오름 탈선이 문제가 된다. 두 탈선은 플랜지가 올라가는 원인이 마찰 상태에 따라 달라지므로, 답안에서는 두 모드를 나누어 서술한다.

3. 등장 배경과 필요성

철도차량은 원추형 답면의 조향 효과로 직선과 완만한 곡선을 따라간다. 급한 곡선에서는 이 조향 효과만으로 궤도를 따라갈 수 없어 플랜지 접촉이 일어난다. 이때 플랜지 접촉 차륜의 횡압 Q가 윤중 P에 비해 커지면 플랜지가 레일 위로 올라가므로, 횡압과 윤중의 비를 한계와 비교하는 판정 기준이 필요해졌다.

플랜지 접촉 각도가 완만해질수록 같은 횡압에서도 임계 조건에 도달하기 쉽다. 플랜지 마모나 레일 측면 마모로 접촉 각도가 완만해지는 것도 타고오름 위험을 높이는 원인이다. 따라서 차량 상태와 궤도 상태가 나달식의 판정 결과를 바꾸는 요인으로 함께 고려된다. 이 배경 때문에 나달식은 곡선 통과 안전성을 검토하는 기본 식으로 자리 잡았다.

나달식은 국부 접촉의 타고오름 한계를 평가하는 식이다 국내 탈선 안전 기준은 플랜지각 60°, 표면마찰계수 0.3 조건에서 나달식 탈선계수의 허용값을 0.8 이하로 쓰고 있다. 이 허용값은 조건과 함께 해석해야 하며, 조건이 다르면 같은 값으로 비교하지 않는다.