유도전동기 비례추이

왜 배우는가: 유도전동기의 비례추이는 권선형 유도전동기에서 2차 저항을 바꿔 기동토크를 최대토크까지 키우는 원리로, 기동 설계와 속도제어의 기본이다. 기술사 시험에서 원리 설명과 토크-슬립 곡선 해석 문제로 반복 출제된다.

출제 이력: 제118회 1교시 5번, 제97회 1교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

비례추이는 권선형 유도전동기의 2차 저항을 바꾸면 최대토크는 그대로이고 최대토크가 나타나는 슬립만 2차 저항에 비례해 변하는 특성이다.

• 비례추이(比例推移, Proportional Shift)
• 2차 저항(Rotor Resistance)
• 최대토크(Breakdown Torque)
• 슬립(Slip)
• 권선형 유도전동기(Wound Rotor Induction Motor)
• 슬립링(Slip Ring)
• 토크-슬립 특성 곡선
• 기동토크(Starting Torque)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 회전자 회로에 저항을 넣어 두면 전동기가 천천히 돌 때의 토크 곡선을 옆으로 밀어 기동 특성을 바꿀 수 있다는 뜻이다. 최대로 나오는 토크의 크기는 변하지 않고, 최대토크가 생기는 위치(슬립)만 저항 비율만큼 옮겨 간다.

정식 정의는 다음과 같다. 권선형 유도전동기에서 2차 회로 저항을 R_2에서 R_2 + R_{ext}로 바꾸면, 임의의 토크 T를 내는 슬립은 s에서 s' = s \cdot \dfrac{R_2 + R_{ext}}{R_2}로 바뀐다. 즉 같은 토크를 내는 슬립이 저항 비율에 비례해 이동한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다. 2차 저항은 슬립링을 통해 회전자 권선에 외부로 접속하는 저항이다. 슬립은 동기속도 N_s와 회전자 속도 N의 차이를 N_s로 나눈 비율로, s = (N_s - N)/N_s이다. 최대토크는 토크-슬립 곡선의 정점이며, 이 값은 2차 저항과 무관하다. 위키 근거도 이 특성을 기본으로 하며, 정상 운전 구간은 슬립에 대해 거의 선형으로 변한다고 설명한다.

토크 식으로 보면 작은 슬립에서 T \propto \dfrac{s R_2 V_2^2}{R_2^2 + (sX_2)^2}의 형태를 띤다. 여기서 V_2는 회전자 기전력, X_2는 2차 리액턴스다. 분모의 R_2를 바꾸면 곡선의 정점 위치가 바뀌는데, 정점에서 s_m = R_2 / X_2가 성립하므로 최대토크 슬립이 R_2에 비례한다는 결과가 나온다.

3. 등장 배경과 필요성

농형 유도전동기는 회전자 권선이 단락되어 있어 저항을 바꿀 수 없다. 그래서 기동 시 전류는 크고 기동토크는 작아지는 문제가 있었다. 기동 전류를 줄이면서 기동토크를 크게 하려는 요구가 권선형 회전자와 2차 저항 제어를 낳았다.

권선형 전동기는 슬립링을 통해 외부 가변저항을 회전자 회로에 넣는다. 기동 초기에는 큰 저항을 넣어 돌입전류를 낮추고, 속도가 올라가면 저항을 줄인다. 이때 기동토크는 저항값에 따라 최대토크 근처까지 조정할 수 있다. 비례추이는 이 조정이 예측 가능하도록 만든 이론적 근거다.

또 저항을 넣으면 같은 부하에서 슬립이 커지므로 속도는 낮아지고 손실은 2차 동손으로 열이 된다. 이 점 때문에 비례추이는 기동과 저속 속도제어에 쓰이되, 효율 면에서는 불리하다는 한계도 함께 이해해야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

유도전동기는 고정자가 만든 회전자계가 회전자 도체에 유도 기전력을 만들고, 그 전류와 자계의 상호작용으로 토크를 얻는다. 비례추이는 이 토크-슬립 특성에서 회전자 2차 저항을 바꾸면 최대토크의 크기는 그대로이고 최대토크가 나타나는 슬립만 이동하는 현상이다.

회전자 2차 저항은 비례추이의 핵심 변수다. 한 줄 원리는 다음과 같다.

최대토크 Tmax 는 r2 와 무관하고, 최대토크가 생기는 슬립 sT 는 r2 에 비례한다

3상 유도전동기의 1상 등가 토크식은 다음과 같다.

$T = \frac{3}{\omega_s}\cdot\frac{V_1^2\,\dfrac{r_2}{s}}{\left(r_1+\dfrac{r_2}{s}\right)^2+(x_1+x_2)^2}$

여기서 \omega_s 는 동기 각속도(rad/s), V_1 은 1차 상전압(V), r_1, x_1 은 1차 저항과 누설리액턴스(Ω), r_2, x_2 는 2차 저항과 누설리액턴스를 1차로 환산한 값(Ω), s 는 슬립이다. 최대토크는 \dfrac{dT}{ds}=0 에서 얻어 다음과 같다.

$s_T = \frac{r_2}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2)^2}}, \qquad T_{max} = \frac{3}{2\omega_s}\cdot\frac{V_1^2}{r_1+\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2)^2}}$

이 식에서 r_2 는 s_T 에만 들어가고 T_{max} 에는 들어가지 않는다. 따라서 외부 저항을 넣어 r_2 를 r_2' 로 바꾸면 슬립은 다음 관계로 이동한다.

$\frac{s_T'}{s_T} = \frac{r_2'}{r_2} \quad\Rightarrow\quad s_T' = s_T\cdot\frac{r_2+R_{ext}}{r_2}$

여기서 R_{ext} 는 회전자 회로에 삽입한 외부 저항(Ω, 1상 환산)이다. 같은 부하토크에서 저항을 넣으면 슬립이 커져 속도가 떨어지고, 전류는 줄며 기동토크는 커진다.

비례추이 절차는 다음과 같다.

• 정격 토크와 최대토크가 나타나는 슬립을 확인한다.
• 원하는 기동토크를 얻도록 목표 슬립 s_T' 을 정한다.
• R_{ext} = r_2\left(\dfrac{s_T'}{s_T}-1\right) 로 외부 저항을 계산한다.
• 슬립링을 통해 3상 저항을 같은 값으로 삽입한다.
• 기동 후 속도가 오르면 저항을 단계적으로 줄여 단락한다.

5. 관련 법령·기준·표준

비례추이는 법령이 정한 기준값을 갖는 개념이 아니라 전동기 설계·제어의 이론이다. 적용 기준은 설계 관행과 제작사 특성곡선에 따른다. 다음 표는 특성곡선을 읽을 때 쓰는 값과 조건을 정리한 것이다.

• 농형 유도전동기는 2차 저항을 바꿀 수 없어 비례추이를 적용하지 않는다.
• 권선형 유도전동기는 KEC 등 전기설비 기준의 보호·접지 요건을 따른다.
• 제작사 특성곡선의 실제 값은 설계마다 달라 표 값과 다를 수 있다.

권선형 회전자는 외부 저항을 조정하는 방식이라 비례추이를 직접 실현한다. 기동 시 기동토크 최대화 조건을 만들려면 최대토크 슬립을 1 부근에 맞춘다.

6. 유형과 비교

유도전동기의 비례추이 특성은 권선형 회전자 전동기에서 외부 2차 저항을 조정할 때 나타나는 특성이다. 유형은 회전자 구조와 저항 삽입 방식에 따라 나뉜다. 농형은 회전자 권선이 단락되어 있어 비례추이를 적용할 수 없고, 권선형은 슬립링을 통해 외부 저항을 넣을 수 있어 비례추이 제어가 가능하다.