침강속도 계산

왜 배우는가: 침강속도는 침전지와 침사지 설계의 출발값이므로 실무에서 계속 쓰인다. 흐름영역 판단과 스토크스 법칙 적용 조건은 계산 문제의 감점 요인이라 시험에서 반복해 나온다.

출제 이력: 제102회 4교시 6번, 제101회 1교시 1번, 제89회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

I형 침전은 응결하지 않은 독립입자가 상호작용 없이 중력에 의해 일정한 속도로 침강하는 현상이다.

I형 침전은 부유물의 농도가 낮아 입자끼리 충돌하거나 응결하지 않는 조건에서 일어나는 침전이다. 입자는 침전하는 동안 크기·모양·밀도가 변하지 않으므로 침강속도는 시간에 관계없이 일정하다. 지표수의 보통침전과 침사지에서 모래 입자가 가라앉는 현상이 대표적인 예이며, 입자가 서로 독립적으로 가라앉는다는 점 때문에 독립침전이라고도 부른다. 침강속도 계산은 개별 입자 하나에 작용하는 힘의 평형으로 푼다는 점이 이 유형의 핵심이다.

• I형 침전
• 독립침전
• 침강속도
• 항력계수
• 레이놀즈수
• 스토크스 법칙
• 종말속도

키워드 가운데 침강속도는 계산의 결과이고, 항력계수와 레이놀즈수는 식을 고르는 기준이다. 스토크스 법칙과 종말속도는 계산의 출발점이므로 함께 익혀야 한다. 답안 첫 줄에는 위 정의 문장을 그대로 쓰고, 이어서 키워드를 식과 함께 배치하면 채점 항목을 빠짐없이 덮을 수 있다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 다음과 같다. 침강속도는 유체 속에서 입자가 중력에 의해 가라앉을 때, 입자에 작용하는 유효중력(중력에서 부력을 뺀 힘)이 항력과 같아져 가속도가 0이 되는 상태의 속도이다. 이 상태의 속도를 종말속도라고 하며, 실무에서 말하는 침강속도가 바로 이 값이다.

원리는 다음과 같이 풀이한다. 정지한 입자가 물속에 놓이면 아래 방향의 중력과 위 방향의 부력이 작용하고, 운동을 방해하는 항력이 함께 생긴다. 처음에는 유효중력이 항력보다 커서 입자는 가속된다. 속도가 커질수록 항력이 증가하므로 두 힘의 차이가 줄어들고, 항력과 유효중력이 같아지는 순간 가속이 멈춘다. 그 뒤로 입자는 일정한 속도로 침강하며, 이 속도가 침강속도이다.

입자의 밀도 차이가 클수록, 입자 지름이 클수록 유효중력이 커져 침강속도가 빨라진다. 스토크스 법칙에 따르면 침강속도는 입자 지름의 제곱에 비례하고 유체 점도에 반비례한다. 따라서 지름이 두 배가 되면 침강속도는 네 배가 된다. 같은 입자라도 점도가 큰 액체에서는 느리게 가라앉는다. 이 비례 관계를 답안에 함께 적으면 원리 설명의 점수를 얻기 쉽다.

항력은 레이놀즈수에 따라 형태가 달라진다. 레이놀즈수는 입자 지름과 침강속도로 정해지며, 값이 작은 층류 영역에서는 점성에 의한 마찰 저항이 지배적이다. 이 영역에서는 항력계수를 C_D = 24/Re 로 근사하여 식을 단순하게 쓸 수 있다. 스토크스 법칙은 이 영역에서만 성립하므로 레이놀즈수 0.1 이하에서 스토크스 법칙 적용으로 기억한다. 레이놀즈수가 커지면 유체의 관성력이 커져 점성 근사가 깨지고, 항력계수는 실험식으로 구해야 한다. 이 경우 침강속도는 반복 계산으로 구한다.

점도와 밀도는 온도에 따라 변하므로 침강속도도 수온의 영향을 받는다. 수온이 높아 점도가 낮아지면 같은 입자의 침강속도는 커진다. 또한 비중이 1보다 큰 무기 입자는 잘 가라앉고, 비중이 1에 가까운 입자는 침강속도가 매우 작아 사실상 제거되지 않는다. 구형 가정이 깨지는 입자는 항력계수가 달라지므로 별도로 보정해야 한다.

3. 등장 배경과 필요성

침전지를 설계하려면 제거하려는 입자 가운데 가장 작은 입자를 정해야 한다. 그 입자가 얼마나 빨리 가라앉는지가 침강속도이므로, 침강속도는 설계의 출발값이 된다. 표면부하율은 유량을 침전지 표면적으로 나눈 값이며, 제거 목표 최소 입자의 침강속도와 같게 잡는다. 이 값보다 침강속도가 큰 입자는 모두 제거되고, 작은 입자는 그 비율만큼만 제거된다. 따라서 침강속도를 정확히 알아야 침전지 면적을 과대하거나 과소하지 않게 정할 수 있다.

설계는 가장 작은 입자를 기준으로 하는 것이 원칙이다. 큰 입자만 기준으로 잡으면 작은 입자가 빠져나가 처리수 탁도가 높아진다. 반대로 지나치게 작은 입자까지 기준으로 잡으면 면적이 불필요하게 커진다. 그래서 목표 제거 입자 크기를 먼저 정하고, 그 입자의 침강속도를 계산하는 순서로 설계한다.

현장에서는 입자의 침강속도를 실험으로 측정하기도 하고 계산식으로 구하기도 한다. 실험값은 실제 입자 상태를 그대로 반영하고, 계산값은 입자 크기와 수온 조건을 바꿔 가며 비교하기 쉽다. 두 방법을 함께 쓰면 설계값의 신뢰도를 높일 수 있다.

다만 입자가 커지면 스토크스 법칙의 가정이 맞지 않으므로, 계산 전에 흐름영역을 먼저 판단해야 한다. 흐름영역을 구분하는 기준과 영역별 계산 방법은 4절 참고.