CSTR·PFR 설계

왜 배우는가: 실무에서 하수처리장과 화학공정의 반응조 부피는 반응기 형식에 따라 크게 달라진다. 시험에서는 완전혼합형과 플러그흐름형의 부피 비교, 완전혼합형의 직렬 연결 특성이 반복해 출제되므로 두 모델을 같은 물질수지 식에서 출발해 이해해야 한다.

출제 이력: 제129회 3교시 4번, 제111회 4교시 6번, 제98회 3교시 3번, 제90회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

완전혼합형 반응조는 내부가 균일하게 섞여 출구 농도가 내부 농도와 같은 반응조이다.

완전혼합형 반응조와 플러그흐름 반응조는 연속식 반응기를 대표하는 두 가지 이상적 흐름 모델이다. 두 모델은 실제 반응조의 흐름을 단순화한 것이지만, 반응조 부피를 계산하는 설계 식의 출발점이 된다. 따라서 답안을 쓰려면 두 모델의 정의와 핵심 키워드를 먼저 정확히 잡아 두어야 한다.

핵심 키워드

• 완전혼합형 반응조(CSTR): 유입수가 반응조 안에 들어오는 즉시 고르게 퍼져 내부 농도가 균일한 연속식 반응조이다.
• 플러그흐름 반응조(PFR): 유체가 축 방향으로 섞이지 않고 입구에서 출구까지 밀려 나가는 연속식 반응조이다.
• 정상상태: 시간에 따라 농도가 변하지 않고 유입량과 유출량이 같은 상태이다. 영문 원어는 steady state이다.
• 반응 차수: 반응속도가 농도의 몇 제곱에 비례하는지를 나타내는 값이다.
• 반응속도 상수(k): 반응 차수에 따라 단위가 정해지는 비례 상수이다.
• 수리학적 체류시간(HRT): 반응조 부피를 유량으로 나눈 값으로, 유체가 반응조에 머무는 평균 시간이다.
• 역혼합: 유체가 흐름 방향과 거꾸로 섞이는 현상이며, 완전혼합형 반응조의 특징이다.

2. 개념 풀이

완전혼합형 반응조는 유입수가 반응조 안에서 순간적으로 균일하게 혼합되어, 반응조 내부 농도와 유출 농도가 같은 연속식 반응조이다. 플러그흐름 반응조는 모든 유체 입자가 같은 체류시간을 거치고 앞뒤 입자와 섞이지 않은 채 이동하여, 농도가 입구에서 출구까지 연속적으로 변하는 반응조이다. 두 모델의 차이는 반응조 안에서 농도가 어떻게 분포하는지에서 나온다.

설계의 원리는 물질수지에서 출발한다. 반응조에 대한 물질수지는 유입량에서 유출량을 뺀 값과 반응에 의한 생성량의 합이 축적량과 같다는 식이며, 정상상태에서는 축적량이 0이 된다. 반응속도 r은 생성 방향을 양(+)으로 두므로 물질이 소모되는 반응에서는 음(-)이 된다.

완전혼합형 반응조의 부피는 다음 식으로 구한다.

$V = \frac{Q(C_0 - C)}{-r}$

여기서 V는 반응조 부피, Q는 유량, C0는 유입 농도, C는 유출 농도, r은 반응속도이다. 반응조 내부 농도가 유출 농도 C와 같으므로 반응속도는 출구 농도에서 계산한다. 즉 완전혼합형 반응조에서는 반응조 전체가 낮은 출구 농도에서 반응하게 된다.

플러그흐름 반응조에서는 미소 부피 dV 구간의 물질수지 Q·C - Q·(C + dC) + r·dV = 0을 입구에서 출구까지 적분한다. 그 결과는 다음과 같다.

$V = Q\int_{C}^{C_0} \frac{dC}{-r}$

플러그흐름 반응조에서는 농도가 입구에서 출구로 갈수록 낮아지므로 반응속도도 위치마다 달라진다. 입구 부근에서는 농도가 높아 반응이 빠르고, 출구 부근에서는 반응이 느려진다.

완전혼합형은 출구 농도로, 플러그흐름형은 농도 변화를 적분하여 부피를 구한다.

1차 반응(r = -kC)에서는 두 식이 각각 V = Q(C0-C)/(kC), V = (Q/k)ln(C0/C)가 된다. 같은 전화율이라도 두 반응조의 부피가 달라지는 이유가 이 두 식의 차이에 있다.

실제 반응조는 난류, 속도 분포의 불균일, 확산 때문에 유체의 체류시간이 축방향 혼합을 거쳐 분산된다. 따라서 실제 성능은 두 이상 모델 사이에 놓이며, 이상 모델은 반응조 성능을 가늠하는 기준선이다. 유체가 반응조에 머무는 시간의 분포인 체류시간 분포를 측정하면 실제 반응조가 어느 모델에 가까운지 판단할 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

연속식 반응기 설계는 목표 농도나 전화율을 얻는 데 필요한 반응조 부피를 찾는 문제이다. 회분식 반응기는 시간에 따라 농도가 변하지만, 연속식 반응기는 흐름 방향의 위치에 따라 농도가 달라지므로 흐름 모델을 따로 정해야 한다. 이 때문에 완전혼합형과 플러그흐름형이라는 두 이상 모델이 설계 기준으로 쓰이게 되었다.

같은 처리효율을 얻을 때 두 반응조의 부피가 달라진다는 점이 설계 선택의 가장 큰 이유이다. 1차 반응에서 완전혼합형 반응조는 반응조 전체가 낮은 출구 농도에서 반응하므로 반응속도가 작다. 반면 플러그흐름형 반응조는 농도가 높은 입구 부근에서 반응속도가 크게 작용하므로, 같은 전화율에 필요한 부피가 완전혼합형보다 작아지는 경우가 많다.

두 반응조는 운전 측면에서도 장단점이 다르다. 완전혼합형 반응조는 반응조 전체의 온도를 균일하게 조절하기 쉽고, 유입 부하가 변동해도 내부 농도가 희석되어 충격을 완충한다. 다만 같은 부피에서 전화율이 낮아 반응 효율 면에서는 불리하다. 플러그흐름형 반응조는 축 방향으로 농도 구배가 유지되어 반응 효율이 높지만, 반응조 길이가 길어지고 유입 직후의 혼합을 맞추기 어렵다.