스트리터-펠프스식

왜 배우는가: 하천에 방류된 오염물질이 하류의 용존산소를 어떻게 바꾸는지 예측하는 가장 기본적인 모델이다. 수질오염 방지 계획, 방류 허용량 산정, 합류 후 수질 계산에 모두 쓰이며, 시험에서도 이 원리가 계산 문제와 논술 문제로 반복해 나온다.

출제 이력: 제116회 4교시 5번, 제101회 4교시 2번, 제96회 4교시 6번, 제95회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

유기물 분해 소비와 재포기 보충의 차이로 용존산소 부족량 변화를 나타내는 모델식이다.

스트리터-펠프스식은 하천 수질 모델링에서 가장 기본이 되는 식이다. 하천에 공장폐수나 하수가 방류되면 유기물이 호기성 미생물에 의해 분해되면서 용존산소를 소비하고, 동시에 대기에서 산소가 수면을 통해 녹아든다. 두 과정의 속도 차이가 하류 방향 용존산소 농도의 변화를 결정하므로, 방류 지점에서 하류까지의 DO 분포를 식 하나로 예측할 수 있다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 용존산소 부족량(D): 포화 용존산소 농도에서 실제 농도를 뺀 값으로, 하천 오염의 정도를 나타내는 직접적인 지표이다.
• 최종 BOD(L0): 유기물이 모두 분해될 때 필요한 산소량으로, 방류 직후 하천이 받는 초기 유기물 부하를 대표한다.
• 탈산소계수(k1): 유기물 분해로 산소가 소비되는 속도를 나타내는 1차 반응 상수이다.
• 재포기계수(k2): 대기로부터 산소가 하천에 녹아드는 속도를 나타내는 1차 반응 상수이다.
• 자정계수(f): 재포기계수를 탈산소계수로 나눈 값으로, 하천이 스스로 오염을 회복하는 능력을 나타낸다.
• 임계점: 용존산소 부족량이 최대가 되어 DO 농도가 최저가 되는 지점과 시간이다.
• sag curve: 방류 지점 하류에서 DO 농도가 떨어졌다가 회복되는 곡선으로, 용존산소 하락곡선이라고 한다.

2. 개념 풀이

스트리터-펠프스식은 하천 흐름에서 용존산소 부족량의 시간 변화를 두 개의 1차 반응으로 표현한 식이다. 용존산소 부족량은 포화 용존산소 농도 DS에서 실제 용존산소 농도를 뺀 값이므로, 이 값이 커질수록 DO가 낮아진 것이다. 하천에서 거리 x는 평균 유속 u를 이용해 t = x ÷ u로 시간으로 바꿀 수 있어, 식은 시간과 거리 어느 쪽으로도 쓸 수 있다.

원리는 두 반응이 반대 방향으로 작용하는 데 있다. 첫째, 탈산소는 남아 있는 최종 BOD가 미생물에 의해 분해되는 과정으로, 속도가 남은 BOD에 비례하므로 BOD는 지수함수적으로 줄고 부족량을 늘린다. 둘째, 재포기는 대기와 하천 사이의 산소 전달로, 속도가 부족량에 비례하므로 부족량을 줄인다. 두 반응의 균형으로 부족량은 처음에 증가하다가 최대에 이른 뒤 감소하는 곡선이 된다.

부족량의 변화율은 다음과 같이 쓴다.

$dD/dt = k_1 L - k_2 D$

여기서 D는 용존산소 부족량(mg/L), L은 시간 t에서 남은 BOD(mg/L), k1은 탈산소계수(1/day), k2는 재포기계수(1/day)이다. L = L0 e^(-k1 t)를 대입하고 초기 조건 D(0) = D0를 적용하면 해는 다음과 같다.

$D = (k_1 L_0/(k_2 - k_1))(e^{-k_1 t} - e^{-k_2 t}) + D_0 e^{-k_2 t}$

첫 항은 유기물 분해로 생긴 부족량이고, 둘째 항은 방류 직후의 초기 부족량 D0가 재포기로 회복되는 부분이다. 하천의 용존산소 농도는 DS에서 D를 뺀 값으로 구한다.

부족량이 최대가 되는 임계시간 tc는 dD/dt = 0으로부터 구한다. 이 조건에서 k1L = k2D가 성립하므로, 탈산소 속도와 재포기 속도가 같아지는 지점이 곧 DO 최저 지점이다.

재포기 속도와 탈산소 속도가 같아지는 지점에서 DO가 최저가 된다.

$t_c = 1/(k_2 - k_1) × ln[(k_2/k_1)(1 - D_0(k_2 - k_1)/(k_1 L_0))]$

임계점에서 최대 부족량은 Dc = (k1/k2) L0 e^(-k1 tc)이며, 이 값을 DS에서 빼면 최저 DO 농도가 된다. 자정계수는 f = k2 ÷ k1로 정의하며, f = k2 ÷ k1 값이 1보다 크면 재포기가 분해보다 빨라 회복이 우세하다.

계산에서 주의할 점은 기준 로그이다. 상용로그 기준 탈산소계수는 자연로그 기준 값과 다르므로, 자연로그 기준 값은 상용로그 기준 값에 2.303 배를 곱한 값이다. 문제 조건이 어느 기준인지 먼저 구분해야 식에 같은 단위의 값을 넣을 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

스트리터-펠프스식은 1925년 미국 공중보건국 소속의 공학자 스트리터(H. W. Streeter)와 펠프스(Earle B. Phelps)가 오하이오강(Ohio River)의 현장 자료를 바탕으로 발표했다. 이 식이 나오기 전에는 하천에 방류된 유기물이 하류 전체의 DO에 미치는 영향을 정량적으로 예측하기 어려웠다. 이 식은 BOD 방류가 지표수에 미치는 영향을 정량적으로 산정한 최초의 모델이다.