초과확률과 비초과확률

왜 배우는가: 초과확률과 비초과확률은 홍수량·강우량의 설계 기준을 확률로 표현하는 기본 개념이다. 재현기간과 함께 설계 홍수의 위험도를 정량화하는 데 쓰이므로, 수자원 설계와 위험관리 문항에서 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제134회 1교시 12번, 제96회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 초과확률은 어떤 수문량이 특정 기준값을 한 번이라도 넘을 확률이고, 비초과확률은 그 기준값 이하에 머물 확률이다.

• 초과확률(exceedance probability)
• 비초과확률(non-exceedance probability)
• 재현기간(return period)
• 연간 초과확률(AEP, annual exceedance probability)
• 평균 재발 간격(ARI, average recurrence interval)
• 연최대치 계열(AMS, annual maximum series)
• 누적분포함수(CDF, cumulative distribution function)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 큰 홍수가 올해 한 번이라도 찾아올 가능성이 얼마인지를 나타내는 값이다. 반대로 올해 그 기준을 넘지 않을 가능성이 비초과확률이다. 두 값은 합이 1이 되는 여상(餘像) 관계다.

정식 정의는 다음과 같다. 확률변수 X(예: 연최대 강우량, 연최대 홍수량)와 기준값 x에 대해 초과확률은 P(X \ge x) 또는 P(X > x)로 쓰고, 비초과확률은 P(X \le x) = F_X(x)로 쓴다. F_X(x)는 누적분포함수다. 따라서 P(X > x) = 1 - F_X(x)이다.

핵심 용어를 나누어 정리하면 다음과 같다.

• 초과확률: 기준값 이상(또는 초과)의 사건이 해당 기간에 한 번 이상 발생할 확률. 기간은 보통 1년으로 잡으며 이를 연간 초과확률이라 한다.
• 비초과확률: 기준값 이하의 사건이 발생할 확률. 누적빈도(frequency of non-exceedance)라고도 부른다.
• 재현기간: 기준값이 평균적으로 한 번 발생하는 간격. 연간 초과확률의 역수로 정의된다.

연간 초과확률 p와 재현기간 T의 관계는 다음과 같다.

$T = \frac{1}{p}$

여기서 T는 재현기간(년), p는 연간 초과확률(무차원)이다. 예를 들어 연간 초과확률이 0.01이면 재현기간은 100년이다. 이 값은 해당 연도에 그 크기가 한 번 이상 초과될 확률이 1/100이라는 뜻이다. 재현기간 100년이 100년마다 정확히 한 번 발생한다는 뜻은 아니다. 관측 자료로 보면 평균 간격이 100년이라는 뜻이다.

비초과 쪽에서는 다음과 같이 쓴다.

$P_{\text{비초과}} = 1 - p = 1 - \frac{1}{T}$

예를 들어 재현기간 100년의 비초과확률은 0.99다.

3. 등장 배경과 필요성

수문 자료는 짧고 불규칙하다. 설계자는 관측 기간을 넘는 큰 값을 다룰 수밖에 없다. 확률로 표현하면 설계 기준의 위험도를 수치로 명시할 수 있다. 또한 구조물의 수명 동안 적어도 한 번 초과될 위험을 계산할 수 있다.

재현기간만으로 표현하면 오해가 생긴다. 100년 빈도 홍수가 방금 발생했다고 해서 다음 100년 동안 발생하지 않는다는 뜻이 아니다. 실제 홍수는 독립적이므로 매년 같은 확률을 갖는다. 그래서 확률 표현을 함께 쓰는 것이 설계 위험 해석에 필요하다.

재현기간과 확률 표현을 연결하면 설계 수명 n년 동안 한 번 이상 초과될 확률을 구할 수 있다.

$P_e = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

여기서 P_e는 n년 동안 적어도 한 번 초과될 확률, T는 재현기간(년), n은 기간(년)이다. 예를 들어 T = 100년, n = 50년이면 P_e \approx 0.39이다. 설계 수명 동안 위험도를 판단하는 근거로 쓰인다.

4. 구성요소·원리·절차

초과확률과 비초과확률은 하나의 확률 변수에 대한 누적 확률의 두 면이다. 두 값은 합이 1이 되고, 재현기간 T는 초과확률의 역수로 정의된다. 빈도 해석에서 출발하면 이 관계를 세 요소로 나눠 볼 수 있다.

초과확률은 X의 상위 꼬리 면적이다. 연 최대치 자료의 확률분포를 가정하고 누적분포함수 F(x)를 구하면 비초과확률은 F(x), 초과확률은 1 − F(x)가 된다. 수문 자료는 연 최대치 계열로 분석하므로 이 관계가 그대로 쓰인다. 비초과확률은 누적분포함수 그 자체이며 감소하지 않고 오른쪽으로 갈수록 1에 수렴한다.

초과확률 P = 1 − 비초과확률 F(x)이며, 재현기간 T = 1/P 이다

재현기간과의 관계를 식으로 정리하면 다음과 같다.

$P = \frac{1}{T}, \qquad F(x) = 1 - \frac{1}{T}$

여기서 P는 연 초과확률(무차원), T는 재현기간(년), F(x)는 비초과확률(무차원)이다. 예를 들어 100년 빈도 홍수는 P=0.01, F=0.99이다.

재현기간 T년 사상이 n년 동안 한 번 이상 발생할 확률은 이항 분포로 계산한다.

$P_e = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$

P_e는 n년 기간 내 최소 한 번 초과 확률(무차원), n은 기간(년)이다. 이 식은 자료 수가 적을 때의 해석 근거로 쓴다.

계산 예제: 설계 기간 n=50년, 재현기간 T=100년이면 P_e = 1 - (1 - 1/100)^{50} = 1 - 0.99^{50} = 1 - 0.605 = 0.395이다. 결과 39.5%는 50년 사이 한 번 이상 설계 홍수를 넘을 확률로 상식 범위에 있다.

절차는 다음과 같다.

• 연 최대치 계열을 작성한다(지속기간별 연 최대 강수량 또는 유량).
• 자료를 크기 순으로 정렬하고 경험 비초과확률을 구한다.
• 확률분포형을 선정하고 매개변수를 추정한다.
• 각 사상 x에 대해 F(x)를 구하고 T = 1/(1 - F(x))로 재현기간을 환산한다.
• 설계 기준에 맞는 재현기간을 골라 설계 값을 정한다.

도식 구성은 다음과 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

초과확률과 재현기간의 개념은 법령에 정의된 용어가 아니고 수문학 기준서와 설계기준에서 쓰인다. 하천 설계에서 재현기간은 하천의 등급과 계획 대상에 따라 정한다. 기준값은 다음 표에 모았다.

재현기간과 초과확률의 관계는 확률 해석 기준과 수문 빈도해석 교재에 공통으로 실려 있다. 기준 수치는 본 표의 값을 따른다. 설계 재현기간 자체는 하천 계획 기준(하천설계기준)과 댐·방재 설계 기준에 따라 다르므로 적용 대상별로 구분해 쓴다.

6. 유형과 비교

초과확률과 비초과확률은 같은 사건을 서로 다른 쪽에서 본 확률이다. 재현기간과 함께 쓰일 때 혼동이 많으므로 표로 정리한다.