비에너지곡선과 비력곡선

왜 배우는가: 비에너지곡선과 비력곡선은 수로의 수심 변화와 도수 현상을 해석하는 기본 도구다. 수문 개방, 보 설치, 준설에 따른 수심 변화를 예측할 때 쓰인다. 시험에서는 한계수심, 상류·사류, 도수를 묻는 문제에 반복해서 나온다.

출제 이력: 제126회 2교시 4번, 제120회 4교시 6번, 제95회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

비에너지곡선은 유량이 일정할 때 수심과 비에너지의 관계를, 비력곡선은 수심과 비력의 관계를 나타낸 곡선이다.

• 비에너지(specific energy)
• 한계수심(critical depth)
• 대응수심(alternate depths)
• 비력(specific force)
• 프루드 수(Froude number)
• 상류와 사류
• 도수(hydraulic jump)
• 공액수심(sequent depths)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 비에너지는 수로 바닥을 기준으로 잰 물 1N이 가진 에너지다. 수심이 얕아지면 위치에너지는 줄고 유속이 커져 운동에너지가 늘어난다. 이 두 에너지의 합이 수심에 따라 어떻게 변하는지를 그린 것이 비에너지곡선이다.

비에너지는 수로 바닥을 기준으로 한 수심과 속도수두의 합이다. 에너지 보정계수를 1로 두면 다음과 같다.

$E = h + \frac{V^2}{2g} = h + \frac{Q^2}{2gA^2}$

E는 비에너지(m), h는 수심(m), V는 평균유속(m/s), Q는 유량(m³/s), A는 통수단면적(m²), g는 중력가속도(9.81m/s²)다. 유량 Q가 일정하면 수심 h가 줄 때 E는 처음에 감소하다가 최소값에 도달한 뒤 다시 증가한다.

하나의 E 값에 수심이 두 개 존재하며, 이 두 수심을 대응수심이라 한다. 비에너지가 최소가 되는 지점에서는 수심이 하나만 존재하며, 이 수심이 한계수심이다. 한계수심보다 큰 수심의 흐름은 상류이고, 작은 수심의 흐름은 사류다. 흐름의 상태는 프루드 수로도 구분한다. 프루드 수는 평균유속을 파의 전파속도로 나눈 무차원수로, 상류는 1보다 작고 한계류는 1이며 사류는 1보다 크다.

직사각형 단면에서는 단위폭당 유량 q=Q/b를 쓴다. 이때 비에너지는 다음과 같다.

$E = h + \frac{q^2}{2gh^2}$

이 식을 수심에 대해 미분하고 0으로 두면 한계수심을 얻는다. 직사각형 단면의 한계수심은 다음과 같다.

$h_c = \left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}$

이때 최소 비에너지는 한계수심의 1.5배이며, 이 값을 1.5hc 로 기억한다.

비력은 운동량 원리에서 나온 값이다. 단면에서의 운동량 플럭스와 정수압의 합으로 정의하며 다음과 같다.

$M = \frac{Q^2}{gA} + A\bar{y}$

\bar{y}는 통수단면 도심의 수심(m)이고, M은 비력(m³)이다. 직사각형 단면에서는 다음과 같다.

$M = \frac{q^2}{gh} + \frac{h^2}{2}$

비력곡선도 극값을 가지며, 그 수심 역시 한계수심이다. 직사각형 단면의 최소 비력은 단위폭당 1.5hc² 이다.

도수는 운동량은 보존되지만 에너지는 손실되는 현상이다. 따라서 도수 전후의 두 수심은 같은 비력을 갖고 비에너지는 서로 다르다. 그 차이가 도수에서 소산되는 에너지이며 다음과 같다.

$\Delta E = \frac{(h_2-h_1)^3}{4h_1h_2}$

비력곡선에서 같은 비력을 갖는 두 수심이 도수 전후의 공액수심이다. 비에너지곡선에서 같은 비에너지를 갖는 대응수심과는 다른 개념이다.