수리특성곡선

왜 배우는가: 수리특성곡선은 펌프 선정과 관로 계획에서 유량에 따라 필요한 수두를 예측하는 기본 도구다. 관 지름·길이·재질을 바꿀 때 곡선이 어떻게 이동하는지를 묻는 문항으로 2개 회차에 출제되었으므로 정의와 식을 함께 익혀야 한다.

출제 이력: 제113회 1교시 5번, 제101회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

수리특성곡선은 관로에 흐르는 유량과 그 유량을 보내는 데 필요한 수두의 관계를 나타낸 곡선이다.

핵심 키워드

• 관로 특성곡선
• 손실수두
• 정수두
• Darcy-Weisbach 식
• 마찰손실계수
• 미소손실
• 시스템 곡선

수리특성곡선은 관수로 흐름을 다루는 수리학과 수자원 설계에서 쓰는 기본 곡선이다. 답안 첫 줄에는 위 정의 문장을 쓰고, 이어서 횡축과 종축을 밝힌다. 횡축은 유량 Q, 종축은 필요 수두 H다. 두 변수의 관계가 곡선의 모양을 결정한다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 물을 많이 보낼수록 관이 주는 저항이 커지고 그 저항을 이기려면 더 높은 수두가 필요하다는 뜻이다. 가로축에 유량, 세로축에 필요 수두를 놓고 그린 것이 수리특성곡선이다.

정식으로는 관로 시스템이 유량 Q를 흘리는 데 요구하는 전체 수두 H를 Q의 함수로 나타낸 곡선이다. 관로 양단의 수위차인 정수두에 손실수두를 더한 값이 H이며, 손실수두는 관 마찰과 국부 손실의 합이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$H = H_s + K Q^{2}$

여기서 H는 필요 수두(m), H_s는 정수두(m), Q는 유량(m³/s), K는 관로의 길이·지름·재질·부속물에 따른 저항계수(s²/m⁵)다.

손실수두는 유체가 관벽과 마찰하거나 형상이 바뀌면서 잃는 에너지를 높이(m)로 환산한 값이다. 에너지가 사라지는 것이 아니라 내부 에너지, 즉 열로 바뀐다.

마찰손실은 Darcy-Weisbach 식으로 구한다. h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g} 에서 f는 마찰계수, L은 관 길이, D는 내경, V는 평균유속, g는 중력가속도다. 마찰계수 f는 레이놀즈수와 상대조도의 함수다.

미소손실은 굽관, 밸브, 축소·확대부처럼 국부적으로 생기는 손실이다. h_m = K_m\frac{V^{2}}{2g} 로 구하고 여러 곳의 값을 합한다. 유량 Q=AV, 원형관 단면적 A=πD²/4를 대입하면 저항계수 K는 다음과 같이 정리된다.

$K=\frac{8}{\pi^{2} g D^{4}}\left(f\frac{L}{D}+\sum K_m\right)$

이 식에서 K는 내경 D의 4제곱에 반비례한다. 그래서 지름의 작은 변화도 곡선의 기울기를 크게 바꾼다. 다만 f가 레이놀즈수에 따라 변하므로 층류와 천이 구간에서는 곡선이 엄밀한 포물선에서 벗어난다. 완전 난류 구간에서는 f가 거의 일정해져 H와 Q²의 관계가 뚜렷해진다. Re 2,300 이하는 층류, Re 4,000 이상은 난류로 보며 그 사이는 천이 구간이다.

개수로 흐름의 비에너지곡선은 수심과 비에너지의 관계를 나타내는 별개 개념이므로 이 절의 곡선과 혼동하지 않는다.

3. 등장 배경과 필요성

펌프는 유량에 따라 양정이 정해지는 성능곡선을 가진다. 관로는 같은 유량을 보내는 데 필요한 수두를 요구한다. 두 곡선의 교점이 실제 운전점이 된다. 펌프 성능곡선만으로는 관로에 실제로 흐르는 유량을 알 수 없으므로 관로 쪽의 수리특성곡선이 필요하다.

관로의 손실수두는 유량의 제곱에 비례한다. 관 마찰과 미소손실이 모두 속도수두에 비례하고, 속도는 유량에 비례하기 때문이다. 이 성질 때문에 관로 길이를 늘리거나 지름을 줄이면 같은 유량에서 필요 수두가 커지고 곡선 전체가 위쪽으로 이동한다. 장래 유량 증가를 계획할 때도 곡선을 미리 그려 필요 양정을 예측한다.

펌프의 양정이 유량이 줄수록 올라가는 상승 특성을 보이면 두 곡선이 둘 이상의 점에서 만날 수 있다. 안정 운전은 한 양정에 하나의 유량만 얻어지는 상태를 말하므로, 펌프를 고를 때 안정 운전 조건을 확인해야 한다. 이 확인에도 관로 곡선이 기준이 된다.

관로의 에너지 상태는 에너지선(EL)과 수력경사선(HGL)으로 나타낸다. 수력경사선은 에너지선보다 속도수두만큼 아래에 놓인다. 손실수두는 에너지선이 하강하는 크기로 나타나며, 이 하강량이 곧 펌프가 보충해야 할 에너지다. 송수관로와 양수장 계획에서 이 손실을 미리 계산해야 펌프 용량과 운전 비용을 정할 수 있다. 수자원 개발 실무에서 수리특성곡선이 기본 설계 도구로 쓰이는 이유다.

4. 구성요소·원리·절차

수리특성곡선은 관로 하나의 수두손실이 유량에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸 곡선이다. 관로의 마찰손실수두(major loss)와 미소손실수두(minor loss)가 유속의 제곱에 비례하므로, 관로 전체의 필요 수두는 유량의 제곱에 비례하여 증가한다. 이 관계를 곡선으로 그린 것이 수리특성곡선이다.

표의 값은 관로 종류에 따라 달라지므로 설계 시에는 각 성분을 개별로 계산하여 합산한다. 수리특성곡선은 이렇게 합산된 손실이 유량과 함께 어떻게 증가하는지를 보여주는 기본 도구다.

원리는 다음과 같다. 마찰손실수두는 Darcy–Weisbach 식으로 구한다.

$h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$

여기서 h_f는 마찰손실수두(m), f는 Darcy 마찰계수(무차원), L은 관 길이(m), D는 관 내경(m), V는 평균유속(m/s), g는 중력가속도(m/s²)이다. 유량 Q = AV, 단면적 A = \pi D^2/4를 대입하면 손실수두는 Q^2에 비례하는 식이 된다.

$h_f = \frac{8fL}{\pi^2 g D^5} Q^2$

미소손실수두는 다음과 같이 쓴다.

$h_m = K \frac{V^2}{2g}$

여기서 K는 부속물별 손실계수(무차원)다. 따라서 관로 전체 손실수두는 H_L = h_f + \sum h_m이고, 이를 Q에 대해 그리면 수리특성곡선이 된다.

관로 흐름 상태는 레이놀즈수 Re = VD/\nu로 구분한다. 층류와 난류의 경계는 일반적으로 Re = 2320 부근으로 쓰며, 마찰계수 f는 층류에서 f = 64/Re, 난류에서는 Colebrook–White 식으로 구한다. Colebrook–White 식은 레이놀즈수와 상대조도 \varepsilon/D의 함수이며, 레이놀즈수가 4000을 넘는 완전 난류 관로에 쓴다.

절차는 다음 순서로 진행한다.

• 관로의 길이, 내경, 재질(조도)과 부속물 목록을 정한다.
• 유량 범위를 정하고 각 유량에 대해 유속 V = Q/A를 구한다.
• 레이놀즈수를 구하고 흐름 상태를 판정한다.
• 마찰계수 f를 Colebrook–White 식 또는 층류식으로 구한다.
• 마찰손실수두와 미소손실수두를 계산하여 합산한다.
• 유량별 손실수두를 그래프에 그려 수리특성곡선을 완성한다.

도식은 계산 흐름을 보여준다.

5. 관련 법령·기준·표준

수리특성곡선 자체를 규정하는 법령은 없다. 관로 설계는 수도법·하수도법 계열의 설계기준과 상수도 설계기준을 따른다. 아래 표는 관로 손실 계산에 쓰는 기준 수치를 모은 것이다. 조문 번호는 확인된 경우에만 적지 않았고 기준 이름으로 표시한다.

표 아래 설명을 덧붙인다. 층류·난류 경계값은 흐름 상태를 판정하는 기준이며, 판정 후에 마찰계수식을 선택한다. 완전 난류 조건에서는 Colebrook–White 식을 쓰고, 그 식은 반복 계산으로 f를 구한다. 부속물의 K 값은 제작사와 설계기준의 표를 쓰므로 표의 값 자체보다 적용 부속물을 빠짐없이 나열하는 것이 중요하다.