주파수 선택 필터

왜 배우는가: 주파수 선택 필터는 계측·통신·음향 신호에서 필요한 대역만 골라내는 기본 도구이다. 필터의 형식과 구현 방식을 함께 묻는 문제가 나오므로, 아날로그와 디지털 두 방식의 차이를 정확히 이해해야 한다. 차단주파수와 롤오프 특성을 알면 크기 응답 선도로 필터의 기능을 설명할 수 있다.

출제 이력: 제113회 3교시 5번, 제102회 1교시 8번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

주파수 선택 필터는 입력 신호 가운데 지정한 주파수 대역의 성분만 통과시키고 나머지 대역의 성분은 감쇠시키는 회로 또는 연산 장치이다.

답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓰고, 이어서 다음 키워드를 답안 본문에 함께 쓴다. 각 용어의 뜻은 2절에서 풀이한다.

• 통과대역: 신호가 거의 감쇠되지 않고 출력으로 전달되는 주파수 구간이다.
• 저지대역: 신호가 크게 감쇠되어 출력에서 사실상 제거되는 주파수 구간이다.
• 차단주파수: 통과대역과 저지대역을 가르는 경계 주파수이다.
• 전달함수: 출력과 입력의 비를 주파수 또는 라플라스 변수의 함수로 나타낸 식이다.
• 롤오프 특성: 차단주파수 밖에서 진폭이 감쇠되는 기울기이다.
• 필터 4형식: 저역통과필터(LPF), 고역통과필터(HPF), 대역통과필터(BPF), 대역저지필터(BSF, 대역차단필터라고도 한다)이다. 통과대역의 위치에 따라 나눈다.
• 아날로그 필터와 디지털 필터: 연속 신호를 회로 소자로 처리하는 방식과 샘플링된 수열을 연산으로 처리하는 방식이다.

이 키워드들은 차단주파수 하나로 서로 연결된다. 차단주파수를 기준으로 통과와 저지가 나뉘므로, 답안에서 필터의 종류를 설명할 때는 항상 차단주파수와 통과대역의 위치를 함께 밝힌다.

2. 개념 풀이

주파수 선택 필터는 입력 신호의 주파수 성분마다 이득을 다르게 주는 선형 시스템이다. 정식으로는 주파수 응답의 크기 |H(jω)|가 통과대역에서 1에 가깝고 저지대역에서 0에 가깝도록 설계된 회로나 연산 장치를 말한다. 여기서 ω는 각주파수(rad/s), H(jω)는 주파수 응답이다.

원리는 전달함수에서 출발한다. 입력 X(s)에 대한 출력 Y(s)의 비 H(s) = Y(s)/X(s)를 구하고, 정현파 입력의 주파수를 바꾸며 |H(jω)|의 값을 본다. 이 값이 차단주파수 근처에서 급격히 줄어드는 구간이 저지대역이 되므로, 필터의 성능은 크기 응답 곡선의 모양으로 판단한다.

1차 저역통과필터는 H(s) = 1/(1 + s/ω_c)이고, 크기는 |H(jω)| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)이다. 차단주파수 ω_c에서 |H|는 1/√2가 되며, 이는 -3 dB에 해당한다. 이 구간을 지나면 주파수가 10배 높아질 때마다 진폭이 줄어들며, 1차 필터의 롤오프는 -20 dB/decade이다.

설계 방법에 따라 같은 차수라도 통과대역과 저지대역의 모양이 달라진다. 버터워스 필터는 통과대역이 가장 평탄하고 롤오프가 완만하다. 체비쇼프 필터는 통과대역에 리플을 허용하는 대신 같은 차수에서 더 가파른 롤오프를 얻는다. 답안에서는 설계법의 이름보다 평탄도와 롤오프의 관계를 먼저 설명한다.

핵심 용어는 다음과 같이 풀이한다.

• 통과대역: 필터 이득이 1에 가깝거나 허용된 범위 안에 있는 주파수 구간이다. 신호가 손실 없이 출력으로 전달되는 구간을 가리킨다.
• 저지대역: 이득이 충분히 작아 신호가 출력에서 사라지는 주파수 구간이다. 감쇠량은 필터 차수와 설계 방식에 따라 달라진다.
• 차단주파수: 통과대역과 저지대역의 경계가 되는 주파수이다. 관례상 진폭이 통과대역 값보다 3dB 낮아지는 지점으로 정한다.
• 전달함수: 출력과 입력의 비를 복소 주파수 변수의 함수로 나타낸 식이다. 필터 설계는 원하는 크기 응답을 만족하는 전달함수를 찾는 과정이다.
• 롤오프 특성: 차단주파수 밖에서 진폭이 감쇠되는 기울기이다. 차수가 높을수록 기울기가 가팔라진다.
• 저역통과필터: 차단주파수 이하를 통과대역으로 두고 그 위를 저지대역으로 두는 필터이다.
• 고역통과필터: 차단주파수 이상을 통과시키고 그 아래를 저지하는 필터이다.
• 대역통과필터: 하한과 상한 두 차단주파수 사이만 통과시키는 필터이며, 중심 주파수와 대역폭으로 특성을 정한다.
• 대역저지필터: 두 차단주파수 사이를 저지하고 그 밖의 대역은 통과시키는 필터이다. 대역통과필터의 크기 응답을 뒤집은 특성이다.

구현 방식은 아날로그와 디지털로 나뉜다. 아날로그 필터는 저항, 인덕터, 커패시터와 연산증폭기로 구현하며, 디지털 필터는 입력 샘플과 과거 출력의 차분방정식으로 구현한다.

3. 등장 배경과 필요성

실제 측정 신호에는 분석 대상인 성분과 그 밖의 잡음이 함께 섞여 있다. 필터는 필요한 주파수 대역만 남기고 나머지를 줄여 이 두 성분을 분리하므로, 계측과 통신 분야에서 기본 신호처리 수단으로 쓰인다.

소음·진동 분야에서는 측정 대역을 제한하는 데 필터가 필요하다. 옥타브밴드 분석이나 특정 주파수 대역의 음압 레벨을 구할 때 대역통과필터가 측정 대역을 정하는 역할을 한다. 따라서 통과대역과 차단주파수를 정확히 알아야 측정값의 의미를 해석할 수 있다.