스프링 방진계산

왜 배우는가: 스프링 방진계산은 기계 진동을 기초로 전달되지 않게 하는 설계 계산이므로 설비 설치 문제에서 직접 출제된다. 회전수와 질량에서 스프링 정수와 진동전달률을 역으로 구하는 능력이 필요하고, 이 절의 식과 주파수비 조건이 이후 계산 문제의 기초가 된다.

출제 이력: 제110회 2교시 6번, 제102회 3교시 6번, 제95회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

스프링 방진계산은 기계의 가진 주파수와 지지 스프링의 고유진동수 관계로 스프링 정수를 정해 기초로 전달되는 진동을 기준 이하로 줄이는 설계 계산이다.

이 주제는 회전설비나 왕복기계를 기초 위에 설치할 때 기계의 진동이 바닥과 구조물로 새지 않도록 지지 조건을 정하는 문제이다. 정의와 계산 절차가 함께 출제되므로 핵심 키워드를 먼저 정확히 잡아 두어야 한다. 아래 키워드는 답안에서 그대로 쓰는 용어이다.

• 방진(防振): 기계의 진동이 기초나 건물 구조체로 전달되지 않도록 막는 것이다.
• 스프링 정수(k): 스프링에 작용하는 힘과 변위의 비이며 단위는 N/m이다.
• 고유진동수(fn): 지지계가 외력 없이 자유롭게 진동할 때의 주파수이다.
• 가진 주파수(fd): 회전수로 정해지는 기계의 외부 가진 주파수이다.
• 진동전달률(TR): 기초로 전달되는 진폭을 가진 진폭으로 나눈 값이다.
• 정적 처짐(δst): 기계 중량이 스프링에 걸렸을 때 스프링이 정적으로 줄어든 길이이다.
• 진동 차단율: 1에서 진동전달률을 뺀 값으로 차단된 진동의 비율을 나타낸다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 질량 m인 기계를 스프링 정수 k인 탄성 지지체로 받치고, 지지계의 고유진동수 fn을 가진 주파수 fd보다 충분히 낮게 잡아 기계의 가진력이 기초로 전달되는 비율을 줄이는 방법이다. 진동원과 기초 사이에 탄성 요소를 넣어 진동이 전달되는 비율을 줄이는 것이 원리이다. 지지계의 고유진동수는 fn = (1/2π)√(k/m)이므로 목표 고유진동수로부터 필요한 스프링 정수를 k = m(2πfn)²으로 구한다.

이 원리는 1자유도 강제진동 이론으로 설명된다. 감쇠를 무시한 경우 주파수비 r을 다음과 같이 정의하고 진동전달률을 구한다.

$r = f_d / f_n$

$TR = 1 / |1 - r^2|$

식으로 정리하면 TR = 1/|1 − r²|이며, r은 주파수비, TR은 진동전달률이다. 주파수비 r이 √2보다 작으면 TR이 1보다 커져 진동이 증폭되고, r이 √2보다 커야 TR이 1보다 작아져 진동이 차단된다. 따라서 방진 설계의 핵심 조건은 r > √2이다.

목표 진동전달률이 정해지면 필요한 주파수비는 r = √(1 + 1/TR)로 구한다. 예를 들어 목표 TR이 0.05이면 r² = 1 + 20 = 21이므로 r은 약 4.6이고, 가진 주파수가 고유진동수의 약 4.6배 이상이 되도록 지지계를 정한다. 고유진동수 계산에서는 스프링 정수를 정적 처짐과 연결하는 것이 편리하다. 지지 하중을 W = mg로 두면 k = W/δst이고, fn = (1/2π)√(g/δst)가 되며 g = 980cm/s²를 대입하면 fn은 약 5/√δst (Hz)이다. 이때 δst는 cm 단위이다.

감쇠는 공진 피크를 낮추지만 차단 영역에서는 오히려 전달률을 키운다. 따라서 감쇠는 공진 구간의 진폭을 억제하는 데 필요한 만큼만 두고, 차단 설계에서는 감쇠를 작게 잡는 것이 원칙이다.

3. 등장 배경과 필요성

기계는 회전 불평형이나 왕복운동으로 주기적인 가진력을 발생시킨다. 불평형에 의한 가진력은 편심질량 m, 편심거리 e, 각속도 ω로 F = m·e·ω²이므로 회전수가 높아질수록 급격히 커진다. 중량이 크고 회전수가 빠른 기계일수록 이 힘이 기초로 전달되는 양도 커진다.

기계가 기초 위에 직접 놓이면 이 진동이 바닥과 건물 구조체로 전달되어 소음과 구조 피로를 일으킨다. 정밀 계측기의 오차와 주변 작업자의 건강 장해도 함께 생긴다. 그래서 설비 설치 단계에서 진동이 얼마나 줄어드는지 계산으로 보장하는 방진 설계가 필요해졌다.

스프링 종류에 따라 방진 효과의 주파수 영역이 다르다. 금속 코일스프링은 저주파 영역에서 효과가 크지만 공진하면 진폭이 커지므로 점성 감쇠기와 함께 쓰는 것이 일반적이다. 가황고무는 내부 감쇠가 커서 고주파 진동 흡수에 유리하므로 금속 스프링과 용도를 나누어 쓴다.

방진계산의 입력은 기계 질량, 회전수, 지지점 수, 허용 진동전달률이다. 이 값으로 가진 주파수와 필요한 고유진동수를 정하고, 그 고유진동수를 만족하는 스프링 정수를 계산하는 절차가 방진계산의 출발점이다. 이후 절차와 기준 수치는 뒤의 절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

금속스프링 방진은 기계를 코일스프링으로 탄성 지지하여 회전체의 가진력이 기초나 구조체로 전달되는 양을 줄이는 방식이다. 이 계는 질량, 스프링, 감쇠로 이루어진 1자유도 진동계로 모델링하며, 설계는 요구되는 차단율에서 필요한 스프링 정수를 거꾸로 구하는 과정이다. 구성요소와 설계 변수는 다음 표와 같다.