진동 전달률

왜 배우는가: 방진 설계에서 차진 성능을 수치로 나타내는 기본 지표이므로 실무에서 방진재 선정과 지지 강성 결정의 기준으로 쓰인다. 진동수비와 감쇠비에 따른 곡선 해석과 계산 문제가 함께 출제되므로 시험에서 자주 다뤄지는 개념이다.

출제 이력: 제128회 4교시 1번, 제128회 4교시 6번, 제122회 2교시 2번, 제122회 4교시 2번, 제119회 1교시 11번, 제110회 2교시 2번, 제96회 4교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

진동 전달률(Transmissibility)은 진동계에 작용하는 가진력에 대하여 지지부로 전달되는 힘의 비, 또는 가진 진폭에 대하여 응답 진폭의 비를 뜻한다. 방진설계에서는 기계의 진동이 기초나 주변 구조물로 얼마나 넘어가는지를 나타내는 무차원 지표이다. 진동 전달률은 가진력에 대한 지지부 전달력의 비이며, 1보다 작을수록 차진 효과가 크다.

이 개념을 이해하려면 다음 키워드를 먼저 정리해야 한다.

• 가진력: 진동원이 진동계에 주기적으로 가하는 외력이다.
• 고유진동수: 질량과 강성으로 정해지는 계의 자유진동 주파수이다.
• 진동수비: 가진 진동수를 고유진동수로 나눈 값이며 기호는 r을 쓴다.
• 감쇠비: 임계감쇠 대비 실제 감쇠의 비이며 기호는 ζ를 쓴다.
• 차진: 진동이 지지부나 주변 구조물로 전달되지 않도록 막는 것이다.
• 공진: 진동수비가 1 부근에서 응답 진폭이 커지는 현상이다.

2. 개념 풀이

진동 전달률의 정식 정의는 1자유도 질량-스프링-감쇠기 계에서 지지부로 전달되는 힘의 진폭 F_T와 가진력의 진폭 F_0의 비이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$T_R = F_T / F_0 = √[(1+(2ζr)²) / ((1−r²)²+(2ζr)²)]$

위 식의 분자는 스프링력과 감쇠력을 벡터로 합한 전달력의 크기이고, 분모는 가진 진동수에 따른 계의 응답 특성을 나타낸다. 진동 전달률은 단위가 없는 무차원수이므로 서로 다른 계의 차진 성능을 같은 기준으로 비교할 수 있다.

원리는 다음과 같다. 가진 진동수가 고유진동수보다 충분히 낮으면 r이 0에 가까워 T_R은 1에 가까워지고, 질량은 지지부와 거의 같이 움직인다. 감쇠비가 0이면 식은 T_R = 1/|1−r²|로 줄어든다. r이 1 부근에 접근하면 분모가 작아져 공진이 일어나고, r=1에서의 피크 값은 √(1+4ζ²)/(2ζ)이므로 감쇠비가 작을수록 피크가 높아진다. 감쇠비가 작은 범위에서는 피크 값이 대략 1/(2ζ)가 된다.

예를 들어 진동수비 r=3, 감쇠비 ζ=0.1이면 분자는 √(1+0.6²)=1.166, 분모는 √((1−9)²+0.6²)=8.023이므로 T_R은 약 0.145이다. 즉 가진력의 약 14.5%만 지지부로 전달되고 나머지는 차단된다.

r이 √2를 지나면 T_R 곡선은 감쇠비와 관계없이 1을 통과한다. 이 지점 이후 진동수비 √2 이상 구간이 차진 영역이 되며, 이 구간에서 T_R은 1보다 작아진다. 같은 구간에서는 감쇠가 클수록 T_R이 오히려 커지므로, 감쇠는 공진 영역의 진폭을 줄이는 대신 차진 영역의 차단 성능을 떨어뜨린다. 따라서 방진 설계에서는 공진 피크와 차진 성능을 함께 고려해 감쇠비를 정해야 한다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 전달력: 지지부가 받는 힘의 진폭이며 스프링력과 감쇠력을 합한 값이다.
• 차진 영역: 진동수비가 √2보다 큰 구간이며 진동 전달률이 1보다 작아지는 구간이다.
• 공진 영역: 진동수비가 1 부근인 구간이며 진동 전달률이 가장 커지는 구간이다.

기초 가진 계에서는 지지부 변위 Y에 대한 질량의 절대 변위 X의 비 X/Y를 진동 전달률로 쓰며, 이 값도 같은 식으로 주어진다. 따라서 가진 방식이 힘이든 변위든 같은 곡선 모양을 얻으므로 두 경우를 하나의 곡선으로 설명할 수 있다.

설계에서는 목표 전달률을 만족하도록 고유진동수를 정한다. 스프링 강성을 k, 질량을 m이라 하면 고유진동수는 f_n = (1/2π)√(k/m)이고, 정적 수축량 δ_st = mg/k로 바꾸면 f_n ≈ 5/√δ_st(δ_st는 cm 단위, 중력가속도 9.8m/s² 적용)로 쓸 수 있다. 이 관계는 방진고무의 정적 수축량을 정하는 실무 계산에서 자주 쓰인다.

3. 등장 배경과 필요성

기계와 구조물이 고속화되면서 회전기계의 불평형 가진력이 커지고, 그 진동이 기초와 주변 구조물로 전달되는 문제가 중요해졌다. 진동은 일반적으로 해로운 현상이므로 발생을 줄이고 전달을 막는 방진 설계가 필요하다. 진동이 전달되면 소음과 구조물의 피로가 생기고, 정밀 장비가 오작동하며, 거주 공간의 쾌적성이 떨어진다.

건물 설비에서도 같은 문제가 생긴다. 냉동기, 송풍기, 펌프 같은 설비를 바닥에 직접 설치하면 진동이 건물 바닥과 벽체를 타고 멀리 전달되므로, 설비와 바닥 사이에 탄성 지지와 감쇠 요소를 넣는다. 이처럼 진동이 한 부품에서 다른 부품으로 옮겨가는 것을 막는 것이 방진의 목적이다.

설계 단계에서는 가진 진동수와 고유진동수의 관계를 먼저 정해야 한다. 고유진동수를 낮추면 차진 영역에 들어가지만 정적 수축량이 커지므로, 설치 조건과 구조를 함께 검토해야 한다. 차진 조건의 출발점은 고유진동수를 가진 진동수의 1/√2 이하로 설계하는 것이다.