방진시설 전달률

왜 배우는가: 방진 설계에서는 기초로 전달되는 힘을 미리 예측해야 구조물과 주변 설비의 안전과 성능을 확보할 수 있다. 전달률은 이 예측의 기본 지표이므로 정의, 식, 진동수비 구간 해석을 함께 묻는 계산 문제가 기출에서 나타난다.

출제 이력: 제125회 4교시 6번, 제93회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

방진시설 전달률은 가진력에 대해 기초로 전달되는 힘의 비율이다.

전달률은 방진 지지부가 진동을 얼마나 차단하는지를 나타내는 무차원 지표이다. 값이 1보다 작을수록 기초로 전달되는 힘이 가진력보다 작아지므로 방진 효과가 크다. 답안 첫 줄에는 이 정의 문장을 먼저 두고, 그 뒤에 식과 진동수비 구간 설명을 이어 쓰는 것이 일반적이다. 1교시 용어형 문제에서는 정의와 식의 핵심 기호만 정확해도 대부분의 채점 항목이 충족된다. 전달률은 식 하나로 끝나는 개념이 아니라 진동수비와 감쇠비라는 두 변수로 결정되는 함수이다. 이 두 변수를 함께 묻는 문제가 계산 문제의 기본 구조이다.

핵심 키워드

• 전달률
• 가진력
• 진동수비
• 고유진동수
• 감쇠비
• 방진고무
• 방진 효과

2. 개념 풀이

방진시설 전달률(TR)은 가진력의 진폭에 대해 기초로 전달되는 힘의 진폭이 차지하는 비율이다. 가진 변위를 가하는 기초 가진 문제에서는 기초 변위와 가진 변위의 비로 정의되며, 단위가 없는 무차원 수이다. 즉 전달률이 작다는 것은 가진 에너지가 구조물에 덜 넘어간다는 뜻이다.

원리는 1자유도계 모델로 설명한다. 질량 m, 스프링 상수 k, 감쇠계수 c로 지지된 기계에 가진력 F_0 sin ωt가 작용하면, 정상상태에서 기초로 전달되는 힘은 스프링력과 감쇠력의 벡터 합이다. 두 힘의 위상차를 고려하여 얻은 전달률 식은 다음과 같다.

$TR = \frac{F_T}{F_0} = \sqrt{\frac{1+(2\zeta r)^2}{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$

여기서 F_T는 기초로 전달되는 힘의 진폭, F_0는 가진력의 진폭이다. 핵심 변수는 다음과 같다.

• 전달률: 기초 전달력과 가진력 진폭의 비로, 1보다 작으면 방진 효과가 있다고 본다.
• 진동수비: 가진 진동수 ω를 고유진동수 ω_n으로 나눈 값 r이다. 고유진동수는 \omega_n = \sqrt{k/m}로 구한다.
• 감쇠비: 임계감쇠계수 대비 실제 감쇠계수의 비이며 ζ로 표기한다.

진동수비에 따라 전달률의 성격은 세 구간으로 나뉜다. r이 1보다 훨씬 작은 구간에서는 전달률이 약 1이므로 진동이 증폭되지도 줄지도 않고 그대로 전달된다. r이 1 부근에서는 공진으로 전달률이 최대가 되며, 이때 감쇠가 그 피크를 억제한다. r이 1보다 훨씬 큰 구간에서는 전달률이 1보다 작아져 진동이 격리되며, 이것이 방진이 실제로 작동하는 구간이다.

위상 관계도 함께 알아 두어야 한다. r이 1일 때 응답 변위는 가진력보다 위상이 90도 뒤지고, r이 1보다 훨씬 클 때는 180도 뒤진다. 이 위상 관계는 감쇠의 크기와 관계없이 성립하므로 공진 여부를 판단하는 데 쓰인다.

모든 감쇠비의 곡선은 진동수비 √2에서 전달률 1로 교차한다. 방진 효과는 진동수비가 √2보다 큰 구간에서 나타난다. 이 교차점을 기준으로 감쇠의 효과가 뒤바뀐다. 진동수비가 √2보다 작은 구간에서는 감쇠가 클수록 전달률이 낮아지고, 진동수비가 √2보다 큰 구간에서는 감쇠가 클수록 전달률이 높아진다. 따라서 감쇠를 키우면 방진 성능이 항상 좋아진다고 생각하는 것은 오류이다. 방진 설계에서는 먼저 고유진동수를 낮춰 진동수비를 √2보다 크게 잡고, 그다음에 감쇠비를 정하는 것이 원리에 맞다.

힘 전달률과 절대 변위 전달률은 같은 식으로 계산된다. 따라서 문제가 힘을 묻는지 변위를 묻는지에 따라 기호의 의미만 바꿔 쓰면 된다.

3. 등장 배경과 필요성

회전기계, 압축기, 펌프, 프레스 같은 설비는 운전 중 주기적인 가진력을 발생시킨다. 이 힘이 지지 구조물을 거쳐 기초와 건물 구조체로 전달되면 구조 부재의 피로, 주변 정밀 기기의 오작동, 고체음에 의한 소음 등이 생긴다. 가진원 자체를 줄이는 대책과 별개로 전달되는 힘을 줄이는 방진 설계가 필요하며, 이때 전달률이 설계의 판단 기준이 된다.

방진 기술은 재료 측면에서도 발전해 왔다. 방진고무는 제2차 세계대전 때 항공기의 피로 파괴 대책을 목적으로 발전한 가황고무 제품으로 알려져 있으며, 대부분 금속과 접착된 상태로 사용된다. 방진고무는 배합과 고분자 종류에 따라 스프링 정수와 감쇠계수를 조절할 수 있어, 원하는 전달률을 얻는 설계 수단으로 쓰인다.

금속 코일 스프링은 저주파 영역에서 효과가 크지만 공진하면 진폭이 크게 커지므로 점성 감쇠기를 함께 써서 억제한다. 공기 스프링은 공기압을 바꿔 스프링 정수를 조절할 수 있는 장치이다. 재료마다 강성과 감쇠가 다르게 주어지므로, 전달률 식이 강성과 감쇠를 함께 다루는 이유가 여기에 있다.