보-질량계 고유진동수

왜 배우는가: 보에 장비나 질량이 부착되면 고유진동수가 바뀌어 공진 위험과 설계 값이 달라지므로 실무에서 반드시 계산해야 한다. 이 개념은 1교시 계산 문제와 4교시 논술 문제에서 모두 쓰이는 기본 식이므로 식과 모드 관점을 함께 익혀 두어야 한다.

출제 이력: 제116회 4교시 5번, 제108회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

보-질량계의 고유진동수는 보의 굽힘강성과 부착 질량, 지지 스프링 강성으로 정해지는 계 고유의 자유진동 주파수이다. 답안 첫 줄에 쓸 정의는 이 한 문장이다. 정의를 이해하려면 다음 키워드를 함께 알아야 한다.

• 고유진동수: 계가 외력 없이 자유진동할 때 가지는 고유한 진동수이다.
• 굽힘강성: 보가 굽힘 변형에 저항하는 성질이며 EI로 나타낸다.
• 등가강성: 여러 스프링을 하나의 스프링으로 치환한 강성이다.
• 모드형상: 특정 고유진동수에서 보가 취하는 변형 형태이다.
• 1자유도계: 질량과 스프링 하나로 운동을 기술하는 진동계이다.
• 공진: 가진 주파수가 고유진동수와 일치하여 진폭이 커지는 현상이다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 다음과 같다. 보-질량계는 탄성 보에 질량 m과 지지 스프링 k가 결합된 계이며, 계에 초기 변위나 속도를 준 뒤 외력 없이 놓으면 계가 고유진동수로 자유진동한다. 이 값은 초기 조건과 무관하고 계의 질량과 강성만으로 결정된다는 점이 핵심이다. 원리는 1자유도계에서 출발한다. 질량 m과 스프링 강성 k만을 가진 계의 고유 각진동수는 ω_n = √(k/m)이며, k는 N/m, m은 kg 단위로 넣는다. 고유진동수는 f_n = ω_n / 2π (Hz)로 환산한다. 보 자체는 자유도가 무한한 연속체이므로 고유진동수가 무한히 존재하고, 낮은 차수부터 1차, 2차, 3차 고유진동수로 구분한다. 보-질량계에서 보는 스프링과 같은 역할을 한다. 단순지지보 중앙에 집중하중 P를 가하면 중앙 처짐은 PL³/(48EI)이므로, 중앙의 등가 스프링 강성은 k_b = 48EI/L³이다. 질량이 스프링을 통해 보 중앙에 매달린 경우 질량의 변위는 스프링 신장과 보 처짐의 합이고, 두 요소가 같은 힘을 받으므로 직렬 결합으로 본다. 직렬 결합의 등가강성은 1/k_eq = 1/k + 1/k_b로 구하며, 고유진동수는 ω_n = √(k_eq/m)이다. 식으로 정리하면 ω_n = √(k·k_b / (m(k + k_b)))이다. 보의 자중은 무시하므로 질량은 부착 질량 m만 넣는다. 스프링을 제거하고 질량을 보 중앙에 직접 붙인 경우는 k를 무한대로 본 극한이므로 ω_n = √(k_b/m)이 된다. 계산 절차는 다음 네 단계이다.

• 굽힘강성 EI와 지간 L로 중앙 강성 k_b를 구한다.
• 스프링 강성 k와 k_b를 직렬로 합쳐 등가강성 k_eq를 구한다.
• 부착 질량 m으로 ω_n = √(k_eq/m)를 계산한다.
• 필요하면 2π로 나누어 f_n(Hz)로 환산한다.

고유진동수는 스프링이 아무리 강해도 √(48EI/(mL³)) 미만이다. 스프링이 매우 연하면 k_eq가 k에 가까워져 고유진동수가 낮아지고, 스프링이 매우 강하면 k_eq가 k_b에 수렴한다. 따라서 상한은 k_b가 만드는 값이며, 질량이 커지면 같은 강성에서도 고유진동수는 낮아진다. 모드 관점에서 단순지지보의 n차 모드형상은 sin(nπx/L)이다. 중앙에 질량을 두면 중앙 변위가 큰 모드일수록 질량의 영향을 크게 받는다. 1차 모드는 중앙이 최대 변위이므로 영향이 가장 크고, 2차 모드는 중앙이 절점이므로 중앙 질량의 영향이 작다.