강제진동 진폭비

왜 배우는가: 강제진동 진폭비는 주기 외력을 받는 기계와 구조물이 정상상태에서 얼마나 크게 흔들리는지를 정량화하는 기준이다. 실무에서는 공진 위험을 예측하고 감쇠나 강성을 어떻게 정할지 판단하는 근거로 쓰이므로 정확히 알아야 한다. 시험에서는 목표 진폭을 만족하는 감쇠계수를 구하는 계산형과, 진동수비에 따른 곡선을 그려 설명하는 서술형으로 묻는다.

출제 이력: 제93회 3교시 4번, 제77회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

강제진동 진폭비는 정상상태 진폭을 외력에 의한 정적 변위로 나눈 무차원 값이다.

답안 첫 줄에는 위 정의를 쓰고, 다음 키워드를 본문 설명과 함께 익혀 둔다.

• 강제진동: 외부에서 주기적인 힘이 계속 가해져 계가 그 진동수로 흔들리는 진동이다.
• 진폭비: 정상상태 진폭을 정적 변위로 나눈 값으로, 동적 증폭 정도를 나타낸다.
• 확대율(Magnification Factor): 진폭비와 같은 의미로 쓰이며 MF로 줄여 쓴다.
• 진동수비: 가진 진동수를 고유진동수로 나눈 값이다.
• 감쇠비: 감쇠계수를 임계감쇠계수로 나눈 값이다.
• 공진: 진동수비가 1 부근일 때 진폭이 가장 크게 증폭되는 현상이다.

2. 개념 풀이

강제진동 진폭비는 질량, 스프링, 감쇠기로 이루어진 1자유도계에 주기 외력 F₀sin ωt가 작용할 때, 정상상태 진폭 X를 정적 변위 δst로 나눈 비이다. 정적 변위 δst는 같은 크기의 힘을 정지 상태에서 천천히 가했을 때의 변위이며, δst = F₀/k로 구한다. 따라서 이 비는 외력의 크기와 무관하게 계가 외력의 효과를 얼마나 증폭하는지를 보여준다.

운동방정식은 다음과 같다.

$m\\ddot{x} + c\\dot{x} + kx = F_0\\sin\\omega t$

여기서 m은 질량(kg), c는 감쇠계수(N·s/m), k는 스프링 상수(N/m), F₀는 외력 진폭(N), ω는 가진 원진동수(rad/s)이다. 시간이 지나면 과도응답은 감쇠로 소멸하고 계는 정상상태에 이른다.

정상상태 해를 x = X sin(ωt − φ)로 두면 외력과 같은 진동수 성분의 진폭은 다음과 같다.

$X = \\frac{F_0/k}{\\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\\zeta r)^2}}$

여기서 r = ω/ωn은 진동수비, ζ = c/(2mωn)은 감쇠비, ωn = √(k/m)은 고유진동수(rad/s)이다. 분자 F₀/k가 δst와 같으므로 양변을 δst로 나누면 진폭비가 된다.

$M = \\frac{X}{\\delta_{st}} = \\frac{1}{\\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\\zeta r)^2}}$

위상차는 다음 식으로 나타낸다.

$\\tan\\phi = \\frac{2\\zeta r}{1-r^2}$

r=1에서 위상차 φ는 90도(π/2)이다. 진동수비가 0에서 커질수록 φ는 0에서 π까지 증가하므로, 외력과 변위의 위상 관계를 설명할 때 이 값을 기준으로 삼는다.

식으로부터 두 극한을 확인한다. 진동수비가 0에 가까우면 M은 1에 가까워져 진폭이 정적 변위와 같다. 공진점인 r=1에서 확대율 M은 1/(2ζ)가 된다. 최대 진폭비는 감쇠비 ζ가 1/√2보다 작을 때 r=√(1−2ζ²)에서 나타난다. 감쇠비가 작을수록 정점은 r=1에 가까워진다.

문항이 요구하는 부족감쇠 강제진동은 ζ<1인 경우이며 위 식이 그대로 적용된다. 감쇠를 키우면 분모의 (2ζr)² 항이 커지므로, 같은 진동수비에서 진폭비는 작아진다. 다만 이 감소 효과는 공진 근처에서 가장 뚜렷하다.

유도 과정은 다음 순서로 정리한다.

• 정상상태 해를 x = X sin(ωt − φ)로 가정한다.
• 강성력 kX, 감쇠력 cωX, 관성력 mω²X를 같은 진동수의 벡터로 나타낸다.
• 세 벡터의 합이 외력 벡터 F₀와 같다는 조건으로 X와 φ를 구한다.
• 결과를 δst로 나누어 진폭비 M을 정리한다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 정상상태: 과도응답이 감쇠로 소멸한 뒤 외력과 같은 진동수로만 진동하는 상태이다.
• 감쇠비: 감쇠계수를 임계감쇠계수 2mωn으로 나눈 무차원 값이며, ζ<1이면 부족감쇠이다.
• 확대율: 진폭비 M과 같은 값으로, 공진 근처에서 외력의 효과를 얼마나 크게 증폭하는지 나타낸다.

3. 등장 배경과 필요성

회전기계, 왕복기계, 건축물, 교량은 운전 중 주기 외력을 계속 받는다. 이때 가진 진동수가 고유진동수와 가까워지면 작은 힘으로도 큰 진폭이 생겨 피로 파손과 소음의 원인이 된다. 따라서 설계 단계에서 공진이 언제 생기는지 예측하고, 이를 피하거나 진폭을 줄이는 대책을 정해야 한다.

공진을 피하는 방법은 크게 세 가지이다. 감쇠를 추가하여 진폭을 줄이는 방법, 강성이나 질량을 바꾸어 고유진동수를 가진 진동수에서 멀리 옮기는 방법, 가진 진동수 자체를 바꾸는 방法이다. 이 가운데 감쇠를 얼마나 주어야 목표 진폭이 되는지 계산하려면 진폭을 정량적으로 나타내는 식이 필요하며, 그것이 진폭비이다.

세탁기 탈수가 좋은 예이다. 세탁통이 탈수 회전수로 돌 때 회전수가 세탁기의 고유진동수와 일치하는 순간 공명이 일어나 크게 흔들린다. 대부분의 기종이 300~2000RPM 범위에서 회전수를 바꾸므로, 가진 진동수와 고유진동수의 차이가 진폭을 결정함을 이 사례로 확인할 수 있다.