2차 표준계 단위계단응답

왜 배우는가: 단위계단응답은 제어와 진동 두 분야에서 계의 과도 거동을 평가하는 기본 모델이다. 감쇠비와 고유진동수에 따른 응답 형태의 구분은 선도 작도와 오버슈트 계산으로 이어지므로 답안의 기초가 된다.

출제 이력: 제113회 3교시 6번, 제93회 1교시 10번, 제93회 3교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

단위계단응답은 감쇠비와 고유진동수에 의해 출력의 모양이 정해지는 시간응답이다.

표준 2차 시스템은 질량, 스프링, 댐퍼로 이루어진 1자유도 진동계를 하나의 전달함수 형태로 정규화한 모델이다. 입력에 단위계단함수를 가했을 때 출력이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸 것이 단위계단응답이며, 이 응답은 과도응답과 정상상태 값으로 나뉜다. 응답의 형태는 감쇠비와 고유진동수 두 매개변수로 결정되고, 그중에서도 감쇠비의 크기가 응답의 종류를 가른다.

• 표준 2차 시스템: 전달함수의 분모가 s에 대한 2차 다항식으로 주어지는 계이다. 두 개의 극점으로 입력과 출력의 관계가 기술된다.
• 감쇠비: 시스템이 진동을 억제하는 정도를 나타내는 무차원 수이며 기호는 ζ이다. 감쇠 계수를 임계감쇠 계수로 나눈 값과 같다.
• 고유진동수: 감쇠가 없을 때 계가 자유롭게 진동하는 각진동수이며 기호는 ωn이다.
• 극점: 전달함수 분모를 0으로 만드는 s 값이며 응답의 지수 감쇠와 진동 주파수를 결정한다.
• 부족감쇠: 감쇠비가 0과 1 사이인 경우로, 진동하면서 진폭이 줄어드는 응답이다.
• 임계감쇠: 감쇠비가 1인 경우로, 진동 없이 가장 빠르게 정상상태에 도달하는 응답이다.
• 과감쇠: 감쇠비가 1보다 큰 경우로, 진동 없이 임계감쇠보다 느리게 정상상태에 도달하는 응답이다.
• 오버슈트: 출력이 정상상태 값을 넘어서 올라가는 최대 초과량이다.

2. 개념 풀이

정식 정의는 라플라스 영역에서 출력 Y(s)와 입력 R(s)의 비가 다음 식으로 주어지는 것이다.

$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}$

원리는 분모를 0으로 놓은 특성방정식의 근, 즉 극점에서 출발한다. 근의 공식을 적용하면 극점은 다음과 같다.

$s_{1,2}=-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$

극점의 실수부 -ζωn은 응답이 지수적으로 줄어드는 속도를 정하고, 허수부 ωn√(1-ζ²)는 진동이 일어날 때의 감쇠 진동수이다. 실수부와 고유진동수의 비가 감쇠비에 비례하므로, 극점이 허수축에서 멀어질수록 감쇠가 커진다. 반대로 극점이 허수축에 가까울수록 고유진동수 부근에서 공진이 뚜렷하게 나타난다.

감쇠비의 값에 따라 극점의 위치가 달라지고, 단위계단응답은 세 가지 형태로 나뉜다.

• 0 < ζ < 1인 부족감쇠는 켤레 복소수 극점을 가진다. 응답은 지수 함수로 줄어드는 포락선 안에서 진동하며 정상상태 값 1 주위를 오가다가 수렴한다.
• ζ = 1인 임계감쇠는 -ωn의 중근을 가진다. 진동 없이 정상상태에 가장 빠르게 도달하며 부족감쇠와 과감쇠의 경계가 된다.
• ζ > 1인 과감쇠는 서로 다른 두 실근을 가진다. 진동은 발생하지 않으나 두 지수항이 합쳐져 임계감쇠보다 느리게 정상상태에 도달한다.

감쇠비가 0인 무감쇠 경우는 순허수 극점을 가져 진폭이 줄지 않는 지속 진동이 된다. 부족감쇠 응답의 오버슈트와 첨두시간은 다음 식으로 구한다.

$PO=100\,e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\,(\%)$

$t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$

PO는 퍼센트 오버슈트이다. 정상상태 값이 1이므로 응답의 최댓값에서 1을 뺀 값이 곧 오버슈트 양이다. t_p는 첨두시간으로, 감쇠 진동수의 반주기에 해당한다.

3. 등장 배경과 필요성

기계 구조물과 제어계는 모두 질량, 감쇠, 강성 요소로 근사할 수 있으므로 표준 2차 시스템은 가장 기본적인 해석 모델이 된다. 진동 설계에서는 구조물이 외력에 의해 과도하게 흔들리지 않도록 고유진동수와 감쇠비를 정하고, 제어 설계에서는 출력이 목표 값을 얼마나 넘어서는지를 기준으로 제어기 이득을 조정한다. 두 요구는 같은 수학적 틀에서 다뤄지므로 단위계단응답을 표준형으로 정리해 두는 것이 필요하다.

실제 구조물은 여러 자유도를 가지지만, 응답에 지배적인 모드 하나를 1자유도로 근사하면 표준 2차 시스템이 된다. 이 근사는 복소수 극점 한 쌍이 나머지 극점보다 허수축에 가까울 때 성립하며, 이 경우에만 감쇠비와 고유진동수의 정의를 그대로 적용할 수 있다. 근사가 성립하지 않으면 전체 전달함수로 응답을 다시 계산해야 한다.