2자유도 진동계

왜 배우는가: 2자유도 진동계는 기계와 구조물을 가장 작은 다자유도 모델로 나타낸 것이다. 공진 회피와 동흡진기 설계가 모두 이 모델에서 출발하므로 진동 해석의 기본 틀이 된다. 여러 회차에 걸쳐 운동방정식 유도, 고유진동수 계산, 연성 분리 문제가 출제되었으므로 식의 구조를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제119회 2교시 6번, 제113회 2교시 6번, 제102회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

2자유도 진동계는 운동을 규정하는 독립 좌표가 2개인 진동계이다.

• 자유도: 시스템의 운동을 임의의 순간에 규정하는 데 필요한 최소 독립 좌표의 수이다.
• 연성: 한 질량의 운동방정식에 다른 질량의 좌표가 함께 나타나는 현상이다.
• 고유진동수: 감쇠와 외력을 무시하고 자유 진동할 때의 진동수이다.
• 고유모드: 각 고유진동수로 진동할 때 질량들의 진폭 비율이 이루는 진동 형상이다.
• 질량행렬과 강성행렬: 운동방정식을 행렬로 쓸 때 나타나는 대칭 행렬이다.
• 감쇠행렬: 감쇠 효과를 나타내는 대칭 행렬이다.
• 모드해석: 고유진동수와 고유모드를 구하는 수치해석 방법이다.
• 동흡진기: 주진동계에 결합하여 과도한 공진 진동을 흡수하는 2차 진동계이다.

2. 개념 풀이

2자유도 진동계는 두 개의 질량이 스프링과 감쇠기로 연결되어 있고, 두 질량의 변위를 각각 독립 좌표로 써야 운동이 결정되는 진동계이다. 1자유도계가 좌표 하나로 운동을 나타내는 것과 달리, 2자유도계에서는 두 좌표가 서로 얽혀 있어 한 질량의 운동이 다른 질량의 운동에 영향을 준다. 이 얽힘을 연성이라 하며, 연성이 있으면 방정식 하나만으로 해를 구할 수 없고 두 식을 동시에 풀어야 한다.

운동방정식은 각 질량의 자유물체도(F.B.D)에서 작용하는 힘의 합을 세워 얻는다. 벽과 질량 m1을 스프링 k1로 잇고, m1과 m2 사이를 스프링 k2로, m2와 벽을 스프링 k3로 잇는 구성을 예로 들면 두 식은 다음과 같다.

$m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = F_1(t)$

$m_2 x_2'' - k_2 x_1 + (k_2+k_3) x_2 = F_2(t)$

첫 식의 -k2 x2 항과 둘째 식의 -k2 x1 항이 연성을 만드는 항이다. 두 식을 행렬로 묶으면 다음과 같다.

$[M]x'' + [C]x' + [K]x = F$

여기서 [M]은 질량행렬, [C]는 감쇠행렬, [K]는 강성행렬, x는 변위 벡터, F는 가진력 벡터이다. 질량행렬과 강성행렬은 모두 대칭 행렬이며, 감쇠가 없으면 [C] 항이 사라진다.

고유진동수는 외력과 감쇠를 0으로 두고 해를 x = X e^{iωt}로 가정하여 구한다. 이를 대입하면 다음의 특성방정식을 얻는다.

$|K - ω^2 M| = 0$

고유진동수는 이 특성방정식의 근으로 구하며, 자유도가 2이므로 근은 2개이다. 두 근 중 작은 값을 1차 고유진동수, 큰 값을 2차 고유진동수라 한다. 1차 고유진동수는 기본 고유진동수라고도 부르며, 물체가 가장 쉽게 변형할 수 있는 모양으로 진동하는 진동수이다. 따라서 2자유도계의 고유진동수는 2개이며, 고차로 갈수록 변형하기 어려운 모양으로 진동한다.

고유모드는 각 고유진동수로 진동할 때 두 질량의 진폭비가 정해지는 진동 형상이다. 1차 모드에서는 두 질량이 같은 방향으로 움직이고, 2차 모드에서는 서로 반대 방향으로 움직인다. 감쇠를 무시하고 계산한 값은 비감쇠 고유진동수이고, 감쇠를 반영한 값은 감쇠 고유진동수이다. 고유진동수와 고유모드를 구하는 수치해석을 모드해석이라 한다.

외력이 가해지는 경우에는 응답이 가진 주파수에 따라 달라진다. 가진 주파수가 한 고유진동수에 가까워지면 진폭이 크게 증가하여 공진이 일어나고, 두 고유진동수 사이에서는 진폭이 작아지는 반공진 현상이 나타날 수 있다. 이 때문에 2자유도계의 설계에서는 가진 주파수와 두 고유진동수의 위치 관계를 먼저 파악하는 것이 중요하다.

3. 등장 배경과 필요성

1자유도 모델은 질량 하나의 운동만 다루므로, 여러 부분이 함께 움직이는 기계나 구조물에는 그대로 적용할 수 없다. 구조물을 여러 질량으로 나누어 모델링하면 자유도가 늘어나며, 자유도가 N이면 질량행렬, 감쇠행렬, 강성행렬은 모두 N×N 정사각 행렬이 된다. 두 질량을 가진 다자유도계의 가장 작은 모델이 2자유도계이므로, 이 모델을 익히면 자유도가 더 많은 계에도 같은 원리를 적용할 수 있다.

자유도가 두 개라는 점은 해석 단계가 늘어난다는 뜻이기도 하다. 1자유도계에서는 특성방정식이 하나의 식이지만, 2자유도계에서는 행렬식이 ω²에 대한 이차식이 되어 두 근을 함께 구해야 한다.