반공진

왜 배우는가: 반공진은 공진과 짝을 이루는 개념으로, 방진 설계에서 특정 지점의 진동을 줄이는 근거가 된다. 실무에서는 동흡진기와 방진계를 튜닝할 때 쓰이고, 시험에서는 공진과 함께 묻는 대표 개념이다.

출제 이력: 제134회 1교시 9번, 제122회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

반공진은 외력과 결합계 사이의 상쇄 간섭으로 응답 진폭이 극소가 되는 현상이다.

반공진은 공진과 짝을 이루는 개념이다. 답안 첫 줄에는 위 정의를 두고, 공진(응답 극대)과 반대되는 현상임을 바로 이어 쓴다. 정의에서 세 가지를 함께 짚어야 한다. 첫째는 응답 진폭이 주변 주파수보다 뚜렷하게 작아진다는 점이고, 둘째는 그 원인이 외력과 다른 진동체 사이의 상쇄 간섭이라는 점이며, 셋째는 특정 주파수에서만 나타나는 국소 현상이라는 점이다. 핵심 키워드는 다음과 같다.

• 반공진: 응답 진폭이 주변 주파수보다 뚜렷하게 작아지는 현상
• 반공진 주파수: 응답이 극소가 되는 가진 주파수
• 상쇄 간섭: 가진력과 반력의 위상이 반대여서 합력이 0이 되는 현상
• 영점: 전달함수의 분자가 0이 되어 응답이 0이 되는 주파수
• 극점: 전달함수의 분모가 0이 되어 응답이 극대가 되는 주파수
• 결합 진동계: 여러 질량이 탄성과 감쇠로 연결된 진동계
• 동흡진기: 반공진을 이용해 주 질량의 진동을 줄이는 부가 진동계
• 위상 급변: 반공진 부근에서 응답 위상이 급격히 바뀌는 현상

위 키워드 가운데 반공진과 공진을 구별하는 축은 영점과 극점이다. 두 용어를 함께 익혀야 2절의 수식 풀이를 답안에 옮길 수 있다.

2. 개념 풀이

반공진은 결합 진동계에서 가진 주파수를 바꿀 때, 특정 주파수에서 응답 진폭이 극소가 되고 그 부근에서 응답 위상이 급격히 변하는 현상이다. 공진이 응답을 극대로 만드는 현상이라면, 반공진은 같은 계에서 응답을 극소로 만드는 현상이다. 두 현상은 모두 계의 고유한 성질에서 나오므로, 한 계의 전달 특성에 공진과 반공진이 함께 나타난다.

원리를 보려면 두 자유도 비감쇠계를 생각하면 된다. 질량 m₁을 가진 주 계에 스프링 k₂와 질량 m₂로 된 부가 계를 연결하고, m₁에 조화 가진력 F₀ sin(ωt)를 가한다. 두 질량의 변위를 x₁, x₂라 하면 정상 상태의 운동방정식은 다음과 같다. 여기서 k₁은 주 계의 스프링 강성(N/m), m₁과 m₂는 두 질량(kg)이다.

$m_1 x_1'' + (k_1 + k_2) x_1 - k_2 x_2 = F_0 sin(ωt)$

$m_2 x_2'' + k_2 (x_2 - x_1) = 0$

정상 상태 해를 X₁ sin(ωt)로 두고 정리하면 주 계 진폭의 전달함수는 다음과 같다.

$H(ω) = X_1/F_0 = (k_2 - m_2 ω^2) / [(k_1 + k_2 - m_1 ω^2)(k_2 - m_2 ω^2) - k_2^2]$

분자 (k₂ − m₂ω²)가 0이 되는 조건이 반공진이다. 따라서 반공진 주파수는 ω_a = (k₂/m₂)^(1/2)이다. 이 값에서 주 계의 응답 X₁은 0이 된다. 부가 계는 m₂를 가진력과 반대 위상으로 움직여 m₁에 가해지는 힘을 상쇄한다. 반공진 주파수는 k₂와 m₂만으로 정해지고 가진력의 크기와는 무관하다. 분모가 0이 되는 주파수는 극점으로, 두 개의 고유진동수 즉 공진 주파수에 해당한다.

상쇄 간섭은 가진력과 결합계의 반력이 크기는 같고 위상이 반대여서 합력이 0이 되는 현상이다. 반공진은 이 상쇄 간섭이 응답 위치에서 일어날 때 나타나며, 단일 진동자보다 두 개 이상의 진동체가 결합된 계에서 두드러진다. 전기회로에서도 인덕터와 커패시터를 함께 보면 같은 방식으로 응답이 극소가 되는 주파수가 생긴다.

영점은 전달함수 H(ω)의 분자가 0이 되는 주파수이다. 공진은 분모가 0이 되는 극점에 대응하고, 반공진은 분자가 0이 되는 영점에 대응한다. 두 식을 나란히 쓰면 반공진 주파수는 분자로부터, 공진 주파수는 분모로부터 구한다는 차이가 드러난다.

반공진 주파수는 전달함수의 분자가 0이 되는 주파수로 구한다.

위상 급변은 반공진 주파수를 지나면서 응답의 위상이 짧은 주파수 구간에서 크게 바뀌는 특성이다. 진폭이 극소인 점만으로는 반공진을 다른 저응답 구간과 구별하기 어려우므로, 실험에서는 위상 변화를 함께 확인한다. 반공진은 진폭의 극소와 위상의 급변이 같은 주파수에서 동시에 나타날 때 판별한다.

3. 등장 배경과 필요성

기계 구조물은 여러 부품이 탄성으로 연결된 결합계로 바뀌면서, 공진 현상만으로는 진동 응답을 설명하기 어려워졌다. 기기가 여러 질량으로 구성되면 응답 곡선에 공진 봉우리가 여럿 생기고, 그 사이에 응답이 뚜렷하게 낮아지는 구간이 나타난다. 이 구간을 해석하지 않으면 방진 설계는 진폭의 최대점만 피하는 소극적 설계에 머문다.

공진 주파수를 피하는 설계에도 한계가 있다. 가진 주파수가 운전 조건에 따라 바뀌거나 가진원이 여러 개인 경우에는 공진 주파수를 모두 피하기 어렵다. 그래서 특정 주파수에서 응답을 직접 낮추는 방법이 필요해졌고, 반공진은 그 원리를 제공한다. 부가 계를 붙여 응답을 극소로 만드는 원리가 동흡진기 설계와 방진계 튜닝의 근거가 된다.