Euler 운동방정식과 베르누이 방정식

왜 배우는가: 소방펌프와 배관 설계에서 압력, 유속, 양정을 계산하는 모든 식은 이 두 방정식에서 출발한다. 기출에서도 유도 과정과 물리적 의미를 묻는 문제가 여러 차례 반복되었다.

출제 이력: 제135회 3교시 1번, 제113회 1교시 4번, 제102회 3교시 4번, 제90회 1교시 4번, 제89회 3교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Euler 운동방정식은 이상유체 미소 유관에 뉴턴 제2법칙을 적용한 식이고, 베르누이 방정식은 이를 유선을 따라 적분한 에너지 보존식이다.

핵심 키워드

• 이상유체: 점성과 압축성이 없다고 가정한 유체다.
• Euler 운동방정식: 압력과 중력만 받는 미소 유관의 운동을 나타낸 식이다.
• 베르누이 방정식: 한 유선 위에서 단위 중량당 전수두가 일정함을 나타낸 식이다.
• 유선: 어느 순간 각 점의 속도 벡터에 접하는 가상의 곡선이다.
• 압력수두: 단위 중량당 압력 에너지를 높이로 환산한 값(p/ρg)이다.
• 속도수두: 단위 중량당 운동 에너지를 높이로 환산한 값(V²/2g)이다.
• 위치수두: 기준면으로부터의 높이 z에 해당하는 위치 에너지다.
• 전수두: 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 물이 좁은 곳을 빠르게 지나가면 그 자리의 압력이 낮아진다. 이 관계를 식으로 정리한 것이 베르누이 방정식이다. 소화설비에서는 펌프 전후, 배관 축소부, 노즐 출구에서 압력과 속도가 어떻게 바뀌는지 계산할 때 이 식을 쓴다.

정식 정의는 다음과 같다. 점성과 압축성이 없는 이상유체가 정상상태로 한 유선을 따라 흐를 때, 단위 중량당 전수두는 어느 점에서나 같다. 이 정의에는 세 가지 조건이 붙는다.

• 유체는 비압축성이며 밀도가 일정하다.
• 유선 하나에만 적용되며 경계층 안을 지나지 않는다.
• 흐름 외부와 에너지를 주고받지 않는다.

Euler 운동방정식은 베르누이 방정식의 출발점이다. 비압축성 이상유체의 1차원 흐름에서 유선을 따라 미소 유관을 잡고 Newton 제2법칙 F = ma를 적용한다. 미소 유관에 작용하는 외력은 압력과 중력뿐이다. 이 결과를 정리하면 다음 식이 된다.

$dP+\rho g\,dZ+\rho V\,dV=0$

여기서 dP는 미소 압력[Pa], ρ는 유체 밀도[kg/m³], g는 중력가속도[m/s²], dZ는 미소 높이[m], V는 유속[m/s], dV는 미소 속도[m/s]이다. 밀도가 일정하다고 보고 전체를 ρ로 나누어 적분하면 베르누이 방정식을 얻는다.

$\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=H$

각 항은 높이 단위를 가진다. 압력수두 p/ρg는 압력이 가진 에너지를 같은 무게의 유체가 올라갈 수 있는 높이로 바꾼 값이다. 속도수두 V²/2g는 유속 때문에 생기는 운동 에너지를 높이로 바꾼 값이다. 위치수두 z는 기준면에서 떨어진 높이가 가진 위치 에너지다. H는 전수두이며 한 유선에서 일정하다.

압력수두, 속도수두, 위치수두의 합(전수두)은 한 유선에서 일정하다.

수평 배관에서는 z가 일정하므로 유속이 커지면 압력이 낮아진다. 이 결론은 축소부 압력 강하와 노즐 방수압 계산에 바로 쓰인다. 계산에 쓰는 기준값은 물의 밀도 1,000kg/m³, 중력가속도 9.81m/s²이다.

3. 등장 배경과 필요성

베르누이 방정식은 다니엘 베르누이가 1738년 저서 Hydrodynamica에서 발표했다. Euler는 이를 일반화한 운동방정식을 제시하여 유체 운동을 뉴턴 역학의 틀에서 설명할 수 있게 했다. 두 식은 역사적으로 이어져 있으며, 실무에서는 두 식을 함께 이해해야 한다.