유체 무차원수

왜 배우는가: 유체유동 문제는 관, 덕트, 제연 설비, 자유표면 흐름처럼 변수가 많아서 실물 실험이나 계산을 하나하나 맞추기 어렵다. 무차원수는 변수를 묶어 유동의 지배 힘을 보여 주므로 모형 실험과 상사 해석의 기본이 된다. 시험에서는 Re, Fr, We 같은 대표 무차원수의 정의와 적용 조건을 묻는 문항이 반복해서 나온다.

출제 이력: 제120회 4교시 4번, 제96회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의:

무차원수는 단위가 소거된 물리량의 비로, 무차원수가 같은 유동은 역학적으로 상사하다.

핵심 키워드

• 무차원수
• 관성력
• 점성력
• 상사성
• Buckingham Π 정리
• 레이놀즈수
• 프루드수
• 웨버수

이 여덟 개 키워드는 답안의 정의 문장과 본론 첫 문단에 함께 쓴다. 무차원수는 유체의 관성력, 점성력, 중력, 표면장력이 서로 얼마나 큰지를 한 개의 수로 나타낸다. 그래서 단위계와 장치 크기가 달라도 같은 현상인지 판단할 수 있다. 답안에서는 정의 문장 다음에 대표 무차원수 세 개 이상을 나열하고, 각 수가 어떤 두 힘의 비인지 한 문장씩 붙이면 된다. 키워드 중 레이놀즈수와 프루드수는 유체유동 문항에서 거의 항상 등장하므로 정의식까지 외워 둔다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 무차원수는 어떤 힘이 다른 힘보다 얼마나 센지를 나타내는 비율이다. 길이나 속도는 단위에 따라 숫자가 달라지지만, 비율은 단위가 없으므로 실험 장치의 크기와 무관하게 같은 현상을 비교할 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 물리량의 개수를 m, 기본단위(질량 M, 길이 L, 시간 T)의 개수를 n이라 하면, 물리 현상은 m−n개의 무차원수 Π로 표현된다. 이것이 Buckingham Π 정리이며, 1914년 Buckingham이 제안했다. 이름의 Π는 변수들의 곱(power product)을 뜻하는 기호에서 왔다. 정리 자체는 방정식의 형태를 몰라도 무차원수 집합을 만드는 방법을 준다.

예를 들어 D, ρ, L, V, Δp 다섯 개 변수는 기본단위가 M, L, T 세 개이므로 무차원수는 5−3=2개가 된다. 분모에는 길이(L 또는 D), 속도(V), 밀도(ρ)처럼 반복 변수를 쓰고, 분자에는 남은 물리량을 넣는다. 이 과정으로 얻은 Π 항이 곧 무차원수다.

대표 무차원수의 정의식은 다음과 같다.

$\text{Re}=\frac{\rho V L}{\mu}=\frac{VL}{\nu}$

(ρ: 밀도 kg/m³, V: 대표 속도 m/s, L: 대표 길이 m, μ: 점성계수 Pa·s, ν: 동점성계수 m²/s)

$\text{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},\quad \text{We}=\frac{\rho V^2 L}{\sigma},\quad \text{Eu}=\frac{\Delta p}{\rho V^2}$

(g: 중력가속도 m/s², σ: 표면장력 N/m, Δp: 압력차 Pa)

레이놀즈수는 관성력과 점성력의 비다. 값이 작으면 점성이 힘을 이기는 층류이고, 값이 크면 관성이 지배하는 난류가 된다. 관 유동의 층류·난류 판정 기준은 자료에 따라 다르게 제시된다. 사이 구간은 천이 유동이다. 프루드수는 관성력과 중력의 비로, 자유표면 유동에서 지배적이다. 관련 기준의 임계값보다 작은 아임계 유동에서는 작은 교란이 상류로 전파된다. 웨버수는 관성력과 표면장력의 비이며, 액적 크기나 기포 유동에서 쓰인다. 오일러수는 압력차와 운동에너지의 비다.

상사성은 두 유동의 무차원수가 같을 때 성립한다. 기하학적 상사, 운동학적 상사, 역학적 상사가 모두 맞아야 실험 결과를 실물로 옮길 수 있다. 역학적 상사는 지배 무차원수를 모형과 실물에서 같게 맞추는 것을 뜻한다.

3. 등장 배경과 필요성

실물 크기의 유동을 모두 실험하기는 어렵다. 건물 내 연기 유동, 제연 설비, 터널 화재는 실물로 재현하면 비용과 위험이 크다. 그래서 축소 모형을 만들고, 무차원수를 맞춰 결과를 실물로 환산한다. 이 방법이 상사법칙이며, 무차원수가 그 기준을 제공한다.

필요성은 세 가지로 정리된다. 첫째, 변수 수를 무차원수 개수로 줄여 실험 횟수를 줄인다. 둘째, 현상을 지배하는 힘이 무엇인지 식별한다. 셋째, 해석해가 없는 복잡한 유동에서 실험 상관식을 세울 틀을 준다. 변수가 많을수록 모든 조건을 동시에 맞추기 어려우므로, 변수를 무차원수로 묶는 과정이 실무에서 필수가 된다.

화재 분야에서는 열에 의한 부력이 지배하는 화재플룸과 천정열기류를 프루드수 기준으로 축소 실험하는 경우가 많다. 모형이 작아지면 점성 영향이 커져 레이놀즈수 조건이 맞지 않으므로, 모형 실험의 한계를 답안에 함께 쓴다. 자유표면 실험에서도 같은 원리가 쓰인다. 위어 실험에서는 프루드수가 중요한 무차원수로 다뤄지고, 표면장력이 큰 작은 수두 조건에서는 웨버수를 함께 본다. 따라서 어떤 유동에서 Re, Fr, We 중 무엇이 지배적인지 먼저 판단해야 상사 조건을 올바르게 세울 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

유체 무차원수는 관성력, 점성력, 중력, 표면장력, 압력 가운데 두 힘 또는 두 물리량의 비로 만든다. 분자와 분모의 단위가 서로 상쇄되어 값만 남으므로 크기가 다른 유동도 같은 기준으로 비교할 수 있다. 무차원수 하나는 유동에서 우세한 힘과 그 반대 힘의 크기 관계를 한 값으로 나타낸다.

레이놀즈수는 층류와 난류를 가르는 기준이다. 관성력이 점성력을 이기면 값이 커지고 유동은 불규칙한 난류로 바뀐다. 프루드수는 자유표면 파동의 전파를 설명한다. 프루드수가 관련 기준의 임계값보다 작은 아임계 유동에서는 작은 교란이 상류로 전파되어 상류 수면에 영향을 준다. 웨버수는 액적 크기와 분열을 설명하며 표면장력이 지배하는 영역과 관성이 지배하는 영역을 나눈다. 오일러수는 압력 손실과 운동에너지의 비이며 국부 저항을 다룰 때 쓴다.

스트루할수(St)는 와류가 주기적으로 떨어지는 현상을 나타낸다. St=\frac{fL}{V} 로 쓰며 f는 와류 방출 주파수(Hz), L은 대표 길이(m), V는 유속(m/s)이다. 모세관수(Ca)는 Ca=\frac{\mu V}{\sigma} 로 쓰며 점성력과 표면장력의 비이다. 마하수(Ma)는 유속과 음속의 비로 압축성 유동에서 쓴다.

Buckingham Π 정리는 무차원수를 만드는 원리다. 물리량이 n개, 기본차원이 k개이면 무차원수의 개수는 p=n−k이다. 이 정리는 1914년 Buckingham이 제안하였으며 방정식의 형태를 몰라도 무차원수를 구할 수 있다는 점이 핵심이다. 예를 들어 관경 D, 밀도 ρ, 길이 L, 속도 V, 압력차 Δp 다섯 개를 쓰고 기본차원이 M·L·T 세 개이면 무차원수는 2개다. 반복변수로 ρ, V, L을 고르면 나머지 Δp와 D를 결합하여 Eu와 Re 형태의 두 Π항을 얻는다.

$\Pi_1=\frac{\Delta p}{\rho V^{2}},\qquad \Pi_2=\frac{\rho V D}{\mu}$

여기서 Δp는 압력차(Pa), ρ는 밀도(kg/m³), V는 속도(m/s), D는 관경(m), μ는 점성계수(Pa·s)이다. Π식의 분모에는 길이, 속도, 밀도를 차례로 쓰고 분자에는 나머지 물리량을 쓴다.

절차는 다음과 같다.

• 현상에 관계된 물리량을 모두 나열하고 개수 n을 센다.
• 기본차원(M·L·T 등)을 정하고 개수 k를 센다.
• 무차원수 개수 p=n−k를 구한다.
• 반복변수 k개를 고른다. 보통 밀도, 속도, 길이를 쓴다.
• 나머지 변수에 지수를 붙여 곱하고 차원 지수가 0이 되도록 맞춘다.
• Π항을 정리하고 각 항이 어떤 힘의 비인지 해석한다.

이 절차로 얻은 무차원수는 실험 상사의 근거가 된다. 모형과 실물에서 같은 무차원수 값을 맞추면 유동 형태가 같다고 본다. 다만 여러 힘이 동시에 중요하면 하나의 무차원수로는 부족하므로 지배 힘을 먼저 정하고 그에 맞는 무차원수를 고른다.

5. 관련 법령·기준·표준

화재안전기준(NFPC·NFTC)에는 무차원수의 정의식이 직접 규정되어 있지 않다. 조문 번호가 확인되지 않으므로 기준 이름만 쓴다.