용존산소 부족곡선(DO Sag Curve)

왜 배우는가: 용존산소 부족곡선은 오염된 하천이 자정작용으로 어떻게 회복되는지를 보여 주는 대표 모델이라 실무에서 방류 허용량과 하천 수질 예측의 기초가 된다. 시험에서는 Streeter-Phelps 식, 임계점 도달 시간, 임계 부족량을 묻는 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제111회 1교시 7번, 제94회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

용존산소 부족곡선은 하천에 유입된 유기물의 분해(탈산소)와 대기로부터의 재폭기가 동시에 일어날 때 하류 방향 용존산소 농도의 변화를 나타낸 곡선이다.

• Streeter-Phelps 식: 용존산소 부족곡선을 수학적으로 나타내는 1차 미분방정식 해.
• 탈산소계수(k1): 유기물이 산소를 소비하는 속도 상수.
• 재폭기계수(k2): 대기 중 산소가 물속으로 녹아드는 속도 상수.
• 임계점(critical point): 용존산소가 최저가 되는 지점과 시간.
• 임계 부족량(Dc): 최저 용존산소 농도와 포화농도의 차이.
• 자정작용: 하천이 오염 물질을 희석, 침전, 분해하여 원래 상태로 회복하는 작용.

2. 개념 풀이

하천에 오수나 공장폐수가 들어오면 물속 유기물이 호기성 미생물에 의해 분해된다. 이 과정에서 미생물이 용존산소를 쓰므로 하류로 갈수록 산소가 줄어든다. 동시에 물 표면을 통해 공기 중 산소가 다시 녹아들어 산소가 채워진다. 이 두 현상의 균형이 하류의 용존산소 농도 분포를 결정한다.

쉬운 말로 말하면: 하천의 산소는 '쓰는 양'과 '채워지는 양'의 차이로 줄었다 늘었다 한다. 그 그래프가 부족곡선이다.

정식 정의: 용존산소 부족곡선(DO Sag Curve)은 점원 오염원 하류의 거리 또는 시간에 따른 용존산소 부족량(D) 또는 용존산소 농도(DO)의 변화를 나타낸 곡선이다. 부족량 D는 포화 용존산소 농도에서 실제 용존산소 농도를 뺀 값이다.

핵심 용어 풀이

• 탈산소(deoxygenation): 유기물의 호기성 분해로 용존산소가 소비되는 현상. 속도 상수는 k1이다.
• 재폭기(reaeration): 대기 산소가 수면을 통해 물에 용해되는 현상. 속도 상수는 k2이다. 유속이 빠르고 난류가 클수록 커진다.
• BOD(생물학적 산소요구량): 유기물 분해에 필요한 산소량. 부족곡선에서 초기 유기물 부하를 나타내는 기준이다. 최종 BOD를 La로 쓴다.
• 임계시간(tc)과 임계거리: 용존산소가 최저가 되는 시각과 지점이다. 탈산소 속도와 재폭기 속도가 같아질 때 발생한다.

3. 등장 배경과 필요성

19세기 말 영국 템스강과 같은 하천에서 하수 방류 후 물고기가 죽는 현상이 반복되었다. 이에 하천 수질을 예측하고 방류 기준을 정할 수 있는 수학적 모델이 필요해졌다. Streeter와 Phelps가 하천 모델을 제시했고, 이것이 지금의 부족곡선 모델이다.

이 모델은 하천의 자정능력을 정량적으로 평가하는 기준이 된다. 방류 허용 BOD 부하량을 정하거나, 하류의 최저 산소 농도를 예측하는 데 쓰인다. 하천 수질 관리와 하수처리장 방류 기준 설정의 기초 자료가 된다.

자정작용은 물리적, 화학적, 생물학적 작용으로 나뉜다. 물리적 작용은 희석, 확산, 침전, 여과가 있고, 화학적 작용은 산화, 환원, 중화가 있다. 생물학적 작용은 호기성 미생물에 의한 분해가 핵심이다. 부족곡선은 이 가운데 산소를 소비하는 생물학적 분해와 산소를 공급하는 재폭기의 균형을 그린 것이다.

이 곡선을 이해하면 하천이 얼마나 먼 거리에서 회복되는지 판단할 수 있다. 하천 유량과 유속이 작거나 수온이 높은 경우 산소 부족이 심해지는 이유도 설명할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

용존산소 부족곡선은 하천에 유기물이 유입된 뒤 하류로 가면서 용존산소(DO)가 줄었다가 회복하는 모양을 말한다. 이 곡선은 탈산소(Deoxygenation)와 재폭기(Reaeration)의 두 작용이 동시에 일어나는 결과로 만들어진다. 두 작용의 크기 차이가 곡선의 최저점 위치와 깊이를 정한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

탈산소 속도 상수는 유기물의 종류와 미생물 활성에 따라 달라진다. 재폭기 속도 상수는 유속, 수심, 난류, 하상 거칠기에 따라 달라진다. 두 상수의 비가 자정계수 f = k2/k1 이다. 이 값이 클수록 하천이 스스로 정화하는 힘이 크다.

원리는 다음과 같다. 유기물이 유입되면 탈산소가 재폭기보다 빠르게 일어나므로 DO가 감소한다. 하류로 갈수록 남은 유기물이 줄어 탈산소 속도가 낮아진다. 반면 재폭기 속도는 산소 부족량에 비례하므로 부족량이 커질수록 빨라진다. 두 속도가 같아지는 지점에서 DO 최저점(임계점)이 생긴다. 이후에는 재폭기가 우세하여 DO가 회복된다.

절차는 다음과 같다.

• 오염원 유입 지점에서 혼합 후 초기 BOD(Lo)와 초기 산소 부족량(Do)을 구한다.
• 수온을 보정하여 탈산소 속도 상수 k1과 재폭기 속도 상수 k2를 정한다.
• Streeter–Phelps 식으로 하류 거리 또는 흐름 시간별 산소 부족량 D를 구한다.
• 임계 시간 tc와 최대 산소 부족량 Dc를 구하여 최저 DO 위치를 정한다.
• 최저 DO가 수질 기준 또는 수생생물 한계를 만족하는지 판정한다.

핵심 공식은 다음과 같다.

$D=\frac{k_1L_0}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right)+D_0e^{-k_2t}$

여기서 D는 시간 t에서의 산소 부족량(mg/L), L0는 최초 최종 BOD(mg/L), D0는 초기 산소 부족량(mg/L), k1은 탈산소 속도 상수(1/day), k2는 재폭기 속도 상수(1/day), t는 흐름 시간(day)이다.

임계 시간과 최대 부족량은 다음과 같다.

$t_c=\frac{1}{k_2-k_1}\ln\left[\frac{k_2}{k_1}\left(1-D_0\frac{k_2-k_1}{k_1L_0}\right)\right]$

$D_c=\frac{k_1L_0}{k_2}e^{-k_1t_c}$

흐름 시간 t는 하류 거리 x를 유속 u로 나눈 값이다(t = x/u). 유속을 m/s로 쓰면 거리 x(m)를 그대로 나눌 수 있다. 그러므로 최저 DO 위치 xc = u·tc 이다.

계산 예제 : L0 = 20mg/L, D0 = 2mg/L, k1 = 0.2/day, k2 = 0.6/day, 포화 DO = 9mg/L 일 때 임계 시간을 구한다.

• 대입: t_c=\frac{1}{0.6-0.2}\ln\left[\frac{0.6}{0.2}\left(1-2\cdot\frac{0.4}{0.2\cdot20}\right)\right]
• 괄호 안: 1-2\cdot\frac{0.4}{4}=1-0.2=0.8
• 로그 안: 3\times0.8=2.4, \ln 2.4 = 0.875
• 결과: t_c=0.875/0.4=2.19\,\text{day}
• 최저 DO: D_c=\frac{0.2\cdot20}{0.6}e^{-0.2\cdot2.19}=6.67\times0.643=4.29\,\text{mg/L}, DO = 9 − 4.29 = 4.7mg/L
• 상식 확인: 임계 시간 약 2.2일, 최저 DO 약 4.7mg/L로 상식 범위에 있다.


5. 관련 법령·기준·표준

DO 부족곡선 자체를 정하는 법령 조문은 없다. 실무에서는 하천 수질기준과 수생생물 보호 기준을 최저 DO의 판정 기준으로 쓴다. 또한 방류수 수질기준과 함께 하천의 자정능력을 평가하는 기초 자료로 쓰인다.

온도 보정식은 k_T = k_{20}\,\theta^{(T-20)} 이다. k_T는 수온 T에서의 속도 상수, k_{20}은 20℃에서의 속도 상수, T는 하천 수온(℃)이다. 수온이 오르면 탈산소 속도가 재폭기 속도보다 더 빨라진다. 그래서 최저 DO가 낮아지고 임계점이 상류로 당겨진다. 반대로 산소 포화 농도는 수온이 오르면 감소하여 재폭기 추진력도 줄어든다.

기준 항목의 세부 값은 해당 시행 기준을 따른다.

6. 유형과 비교

용존산소 부족곡선은 오염원 조건과 하천 조건에 따라 모양이 달라진다. 같은 하천이라도 유입 부하, 수온, 재폭기 조건이 바뀌면 최저점의 위치와 깊이가 달라진다. 그래서 곡선의 유형을 나누어 두면 답안에서 원인과 결과를 연결하기 쉽다.