관수로 마찰손실공식

왜 배우는가: 관수로 마찰손실은 상수도 도수관로와 송수관로, 배수관망의 관경과 펌프 양정을 정하는 기본 계산이다. 실무에서 설계 유량을 흘리려면 손실수두를 먼저 구해야 하고, 시험에서는 Darcy-Weisbach 식과 Hazen-Williams 식의 관계를 묻는 문제가 반복해서 나온다.

출제 이력: 제119회 2교시 2번, 제103회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 관수로 마찰손실은 물이 관 벽과의 마찰로 잃는 수두(손실수두)를 유속·관경·관 길이의 함수로 나타낸 식이다.

• 마찰손실수두(h_f)
• Darcy-Weisbach 식
• Hazen-Williams 식
• 동수경사(I)
• 마찰계수(f)
• 조도계수(C, n)
• 관수로(Pressure Pipe Flow)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 물이 관을 따라 흐를 때 벽과 마찰하면서 에너지가 줄어드는 양을 계산하는 방법이다. 줄어든 에너지를 높이(m)로 환산한 값이 마찰손실수두다. 관이 가득 차서 흐르는 관수로에서 이 값을 구하는 것이 핵심이다.

정식 정의는 다음과 같다. 관수로에서 유체가 길이 L, 내경 D인 관을 평균유속 V로 흐를 때 발생하는 마찰에 의한 수두손실을 나타내는 식이 마찰손실 공식이다.

Darcy-Weisbach 식은 이론적 기반이 있는 식이다. 손실수두는 h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} 로 표현한다. 여기서 h_f: 손실수두(m), f: 마찰계수(무차원), L: 관 길이(m), D: 관 내경(m), V: 평균유속(m/s), g: 중력가속도(9.8m/s²)이다. 마찰계수 f는 레이놀즈수(Re)와 상대조도(ε/D)의 함수이므로 Moody 선도나 Colebrook 식으로 구한다.

Hazen-Williams 식은 실험식이다. 평균유속을 V = 0.849\,C\,R^{0.63} I^{0.54} 로 두며, 이를 관경으로 쓰면 V = 0.355\,C\,D^{0.63} I^{0.54} 이다. 여기서 C: 조도계수(무차원, 관 재질과 노후도에 따라 다름), R: 동수반경(m), D: 관경(m), I: 동수경사(무차원)이다. 손실수두는 동수경사 I = h_f / L 의 관계로 얻는다.

두 식의 핵심 차이는 마찰계수의 성질이다. Darcy-Weisbach 식의 f는 유속과 관의 상태에 따라 바뀌는 값이다. Hazen-Williams 식의 C는 레이놀즈수와 무관하므로 계산이 간단하지만 물의 흐름에만 적용된다.

3. 등장 배경과 필요성

Darcy-Weisbach 식은 원리가 명확하지만 마찰계수 f를 구하기 어렵다. f를 알려면 레이놀즈수를 먼저 구하고 Moody 선도에서 읽거나 Colebrook 식을 반복 계산해야 한다. 설계 현장에서는 이 과정이 번거롭다. 그래서 유속을 직접 구하는 경험식이 함께 발전했다.

대표적인 경험식은 Manning 식, Chezy 식, Hazen-Williams 식이다. Manning 식은 조도계수 n을 쓰고, Chezy 식은 유속계수 C를 쓴다. Hazen-Williams 식은 상수도 설계에서 가장 널리 쓰이는 식이다. 조도계수 C의 값을 관종별로 정해두면 바로 손실수두를 구할 수 있다. 주철관, 강관, 덕타일 주철관 등 재질별 C 값이 설계 기준에 제시되어 있다.

상수도에서 관로는 대부분 물을 흘리는 관수로다. 관로 노선이 길고 관경이 크므로 손실수두가 펌프 양정과 자연유하 가능 여부를 가른다. 따라서 관수로 마찰손실을 정확히 구하는 것이 관경 결정, 동수경사선 작성, 부압 여부 검토의 출발점이다.

관 내 흐름이 층류인지 난류인지도 식 선택에 영향을 준다. 일반적인 상수도 관로는 난류 영역에 있으므로 마찰손실은 유속의 약 2승에 비례한다고 보는 것이 기본이다. 그 결과 설계에서는 유속을 일정 범위로 제한하고 관경을 키워 손실을 줄인다.

4. 구성요소·원리·절차

관수로 마찰손실은 관벽과 물 사이 점성 전단에 의해 에너지가 손실되는 현상이다. 손실수두는 관로 길이에 비례하고 관경에 반비례하며, 이를 계산하는 대표 식이 Darcy-Weisbach 식과 Hazen-Williams 식이다. 두 식은 같은 물리 현상을 다른 방식으로 표현한다.

관로 손실 계산의 구성요소는 다음과 같다.

원리는 다음과 같다. 정상류 상태의 원형관에서 관 벽 전단응력과 압력 강하가 평형을 이룬다. 이 관계에서 손실수두 h_L이 유속 수두에 비례하는 형태가 도출된다. 난류에서는 마찰계수 f가 유속과 무관한 경우가 많으나, 실제 설계에서는 Moody 선도나 Colebrook 식으로 f를 구한다. Hazen-Williams 식은 실험에서 얻은 경험계수 C를 써서 유속을 직접 구하므로 계산이 간단하다.

Darcy-Weisbach 식은 다음과 같다.

$h_L = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$

h_L: 손실수두(m), f: 마찰계수(무차원), L: 관 길이(m), D: 관경(m), V: 평균유속(m/s), g: 중력가속도(m/s²).

Hazen-Williams 식은 SI 단위에서 다음과 같다.

$V = 0.84935\,C\,R^{0.63} I^{0.54} = 0.35464\,C\,D^{0.63} I^{0.54}$

V: 평균유속(m/s), C: 유속계수, R: 동수반경(m), I: 동수경사, D: 관경(m). 이를 유량으로 바꾸면 Q = AV 에 원형관 단면적 A = \pi D^2/4를 곱하여 Q를 D와 I의 함수로 나타낸다.

관수로 손실 계산 절차는 다음과 같다.

• 관종, 관경, 연장, 유량을 정하고 관 내 유속 범위를 가정한다.
• 관종에 맞는 C 또는 f를 정한다. Darcy-Weisbach 식이면 레이놀즈수와 상대조도로 Moody 선도에서 f를 구한다.
• 손실식으로 h_L 또는 I를 계산한다. 필요하면 V = Q/A로 유속을 확인한다.
• 국부손실을 더하고 동수경사선을 그려 압력 조건(부압 여부)을 검토한다.

그림은 관수로의 에너지 흐름을 보여준다.

5. 관련 법령·기준·표준

관수로 마찰손실 계산은 법령이 직접 수치를 정하지 않는다. 상수도 설계는 수도법 관련 시행규칙과 상수도 설계기준의 관로 설계 조항을 따른다. 설계 실무에서 가장 많이 쓰는 기준값은 Hazen-Williams 유속계수 C다. 관종별 값은 다음과 같다.

관 내 흐름 계산의 기본 식과 조건은 다음과 같다.

Hazen-Williams 식은 물의 온도·점성 영향을 직접 반영하지 않는다. 따라서 상온과 보통 유속 범위에서만 타당하다. Darcy-Weisbach 식은 모든 유체·흐름 조건에 쓸 수 있으나 f를 구하는 과정이 번거롭다. 개수로 흐름 공식인 Manning 식은 관로가 부분적으로 차는 경우에 쓰인다. 그 조도계수 n은 관종별로 다르며, 신품 주철관 기준으로 대략 0.012~0.014 범위다.

개정 연혁은 다음과 같이 정리한다. 상수도 설계 기준은 시설별로 개정되며, 관로 설계 조항은 시행 시점의 최신 고시를 따른다.

6. 유형과 비교

관수로 마찰손실을 계산하는 식은 크게 이론식인 Darcy-Weisbach 식과 경험식인 Hazen-Williams 식, Manning 식, Chezy 식으로 나뉜다. 상수도 관로 설계에서는 물에 대해 간편하게 쓰는 경험식이 실무의 중심이다. 식마다 마찰계수의 성격과 적용 범위가 달라 비교표로 정리한다.