전력상차각 특성

왜 배우는가: 전력상차각은 송전단과 수전단 전압의 위상차로서 계통이 전달할 수 있는 최대 전력과 안정도 한계를 결정하는 가장 기본적인 특성이다. 과도안정도·정태안정도 해석, 송전용량 판단의 출발점이므로 시험에서 유도식과 곡선 해석을 반복해서 묻는다.

출제 이력: 제102회 1교시 9번, 제98회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

전력상차각은 송전단 전압과 수전단 전압(또는 발전기 내부 기전력과 무한대 모선 전압) 사이의 위상차 δ 에 따라 전달되는 유효전력이 결정되는 관계를 말한다. 전력상차각 δ 는 두 전압 사이의 위상차이며, 전달 전력은 δ 의 사인 함수로 변한다.

• 상차각(Power Angle)
• 내부 기전력(Internal EMF)
• 동기화력(Synchronizing Power)
• 정태안정도(Steady-state Stability)
• 정태안정 극한 전력(Steady-state Stability Limit)
• 리액턴스(Reactance)
• 전력 원선도(Power Circle Diagram)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 두 전압이 얼마나 어긋나 있는지가 얼마나 많은 전력을 보낼 수 있는지를 정한다. 전압 크기가 같아도 위상이 벌어질수록 흐르는 유효전력이 커진다.

정식 정의는 다음과 같다. 상차각은 송전선로 양단 전압 벡터의 위상차이며, 동기기에서는 유기 기전력과 단자 전압의 위상차다. 발전기에서는 기전력이 단자 전압보다 앞서므로 δ 가 양(+)이다.

상차각은 유효전력 전달의 방향과 크기를 결정하는 변수다. 내부 기전력은 발전기 자체에서 만드는 전압이며, 여자 전류에 의해 크기가 정해진다.

동기화력은 상차각이 조금 변할 때 전달 전력이 변하는 비율로, 동기 발전기가 다른 기기와 동기를 유지하려는 복원력이다. 상차각 특성 곡선에서 기울기가 양인 구간이 동기화력이 존재하는 구간이다.

정태안정도는 작은 외란 후 계통이 원래 평형점으로 돌아오는 능력이다. 전력상차각 곡선의 최댓값이 정태안정 극한 전력을 정한다.

리액턴스는 송전선과 발전기의 유도성 임피던스 성분이다. 손실을 무시하면 전달 전력의 크기를 결정하는 핵심 요소다.

전력 원선도는 수전단 전력을 복소평면에 나타낸 것으로, 상차각 특성의 다른 표현이다. 두 전압과 임피던스를 고정하고 위상차를 바꾸어 얻는다.

3. 등장 배경과 필요성

장거리 송전선로가 늘어나면서 발전소와 부하 사이의 위상차가 커지고, 이것이 계통 안정도를 좌우하게 되었다. 대규모 계통에서 발전기가 탈락하면 상차각이 증가하여 동기를 잃는 사고가 발생할 수 있다.

상차각 특성은 이러한 현상을 한 식과 한 곡선으로 설명하는 기본 도구다. 송전용량의 상한을 정하고, 발전기 여자 제어와 PSS 같은 안정화 대책을 설계할 때 기준이 된다.

실무에서는 계통 운영자가 송전선 조류가 어느 정도 상차각에 해당하는지를 점검하여 운전 여유를 확보한다. 상차각이 일정 값을 넘으면 계통을 분리하거나 조류를 줄여야 한다.

상차각 90° 근처가 정태안정 극한 조건이며, 실무에서는 여유를 두고 운전한다.

4. 구성요소·원리·절차

본 절은 동기발전기 1기가 송전선로를 거쳐 무한대 모선(Infinite Bus, 전압의 크기와 위상, 주파수가 변하지 않는 기준 모선)에 연결된 계통을 다룬다. 발전기 내부 기전력과 모선 전압의 위상차가 전력을 결정하는 구조이므로, 먼저 구성요소를 기호와 함께 정리한다.

위 표의 값으로 계통을 한 줄로 그리면 다음과 같다. 발전기는 내부 기전력 원으로 두고, 선로는 리액턴스로만 본다. 저항을 무시하므로 전류와 전력은 리액턴스에만 의존한다.

상차각(Power Angle)은 발전기 내부 기전력 \dot{E}와 모선 전압 \dot{V}의 위상차 \delta를 말한다. 발전기가 전력을 보낼 때 \dot{E}는 \dot{V}보다 앞서므로 \delta>0으로 둔다. 이 각이 커질수록 송전 전력이 커지고, 동시에 동기 유지의 여유는 줄어든다.

전력상차각 특성식의 유도 절차는 다음과 같다.

• 등가회로를 세운다. 내부 기전력 \dot{E}, 리액턴스 jX, 무한대 모선 \dot{V}를 직렬로 잇는다.
• 전류를 구한다. \dot{I}=\dfrac{\dot{E}-\dot{V}}{jX} 이다.
• 발전기 출력 복소전력을 구한다. \dot{S}=\dot{E}\,\dot{I}^{} 이고, 여기에 \dot{I}^{}=\dfrac{\dot{E}^{*}-\dot{V}^{*}}{-jX} 를 대입한다.
• 정리한다. \dot{E}=E e^{j\delta}, \dot{V}=V(실수)를 넣으면 \dot{S}=\dfrac{jE^{2}-jEVe^{j\delta}}{X} 가 된다.
• 실수부와 허수부로 나눈다. 오일러 공식 e^{j\delta}=\cos\delta+j\sin\delta 를 쓰면 \dot{S}=\dfrac{EV\sin\delta}{X}+j\,\dfrac{E^{2}-EV\cos\delta}{X} 이다.
• 결과를 정리한다. 실수부가 유효전력 P, 허수부가 무효전력 Q이다.

전력상차각 특성식은 다음과 같다.

$P=\frac{EV}{X}\sin\delta$

$Q=\frac{E^{2}-EV\cos\delta}{X}$

여기서 P는 유효전력[W 또는 MW], E와 V는 상전압의 크기[V], X는 동기리액턴스와 선로 리액턴스의 합[Ω], \delta는 상차각[rad 또는 도]이다. 이 식은 P가 \sin\delta에 비례하는 정현파 관계임을 보인다. 무효전력 Q는 \delta뿐 아니라 E의 크기에도 의존하므로, 유효전력과 무효전력은 상차각 하나로만 결정되지 않는다.

유효전력은 상차각의 정현값에 비례하고 리액턴스에 반비례한다

송전단과 수전단의 관계는 같은 식으로 읽을 수 있다. 저항을 무시한 무손실 선로에서 송전단 전압 V_s와 수전단 전압 V_r의 위상차를 \delta라 하면 송수전단 사이 유효전력은 P=\dfrac{V_sV_r}{X}\sin\delta 이다. 따라서 주어진 유효전력 P를 보내려면 상차각은 \delta=\sin^{-1}\!\left(\dfrac{PX}{EV}\right) 가 된다. 즉 같은 전력을 보낼 때 리액턴스 X가 클수록 상차각이 커진다. 이 관계가 무손실 선로에서 상차각을 유효전력 및 리액턴스와 묶는 핵심이다.

상차각 특성에서 중요한 값은 최대 전력과 동기화력이다.

• 최대 전력: \dfrac{dP}{d\delta}=\dfrac{EV}{X}\cos\delta=0 에서 \delta=90^\circ 일 때 P_{max}=\dfrac{EV}{X} 가 된다.
• 동기화력: P_s=\dfrac{dP}{d\delta}=\dfrac{EV}{X}\cos\delta 는 상차각이 작은 범위에서 평형점을 복원하는 힘의 크기다. \delta가 90^\circ에 가까워지면 P_s는 0이 되어 안정 여유가 사라진다.

\delta=90^\circ에서 P_{max}=EV/X

전력상차각 곡선은 P와 \delta의 관계를 그린 것이다. 정현파 모양이며 90^\circ에서 정점을 갖는다. 90^\circ를 넘는 구간은 상차각이 커질수록 전력이 줄어드는 구간이므로 평형을 유지할 수 없다. 정태안정도에서는 이 정점을 정태안정 극한 전력으로 본다.

5. 관련 법령·기준·표준

상차각 특성 자체는 물리 법칙이므로 법령이 수치를 정하지 않는다. 다만 계통계획과 운영에서 이 특성을 안정도 판단 기준으로 쓴다. 전력계통의 신뢰도와 안정도를 규율하는 기준은 전력계통 신뢰도 및 전기품질 유지기준(산업통상자원부 고시)과 한국전기설비규정(KEC, 2021-01-01 시행)이다. 전기사업법은 전력계통 운영의 주체와 책임을 정한다. 아래 표는 상차각 특성에서 시험에 쓰는 기준값을 모은 것이다.