4단자 정수

왜 배우는가: 송전선로는 길이가 길어 전압과 전류가 선로 위치마다 다르다. 4단자 정수는 선로 양단의 관계를 네 상수로 묶어 계산을 단순하게 만든다. 실무에서는 조상설비 용량과 무부하 전압 상승을 계산하는 기본 도구이고, 시험에서는 정의와 계산 문제로 함께 출제된다.

출제 이력: 제137회 4교시 3번, 제129회 3교시 6번, 제119회 1교시 10번, 제108회 4교시 4번, 제102회 1교시 6번, 제93회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

4단자 정수는 송전선로 양단의 전압·전류 관계를 A, B, C, D 네 상수로 나타낸 것이다.

• 4단자 정수
• ABCD 상수
• 전송 행렬
• 송전단·수전단 전압과 전류
• 특성임피던스
• 전파정수
• 집중정수 회로
• 분포정수 회로

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 선로를 입구(송전단)와 출구(수전단) 사이의 검은 상자로 보고, 입구와 출구의 전압·전류만으로 관계를 적는 방법이다. 상자 내부의 선로 구조는 몰라도 된다.

정식으로는 선로를 수동·선형·가역인 2단자쌍(4단자) 회로로 보고, 송전단 값을 수전단 값으로 표현한다. 수전단 전류는 수전단에서 부하 쪽으로 나가는 방향을 기준으로 잡는다. 식은 다음과 같다.

$V_S = A\,V_R + B\,I_R$

$I_S = C\,V_R + D\,I_R$

위 식을 행렬로 묶으면 $\begin{bmatrix}V_S\\I_S\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_R\\I_R\end{bmatrix}$ 가 된다.

네 상수의 뜻은 다음과 같다.

• A(전압비): 수전단을 개방했을 때 V_S/V_R이다. 같은 단위끼리 나누므로 무차원이다.
• B(전달 임피던스): 수전단을 단락했을 때 V_S/I_R이다. 단위는 Ω이다.
• C(전달 어드미턴스): 수전단을 개방했을 때 I_S/V_R이다. 단위는 S(모)이다.
• D(전류비): 수전단을 단락했을 때 I_S/I_R이다. 무차원이다.

이 네 상수는 선로 구조와 길이로 정해진다. 선로의 특성임피던스 Z_c, 전파정수 \gamma, 길이 l을 쓰면 중거리 이상 선로에서 다음과 같다.

$A = D = \cosh\gamma l,\quad B = Z_c\sinh\gamma l,\quad C = \frac{\sinh\gamma l}{Z_c}$

단거리 선로는 직렬 임피던스 Z만 있는 집중정수 회로로 보므로 A=D=1, B=Z, C=0이 된다. 쌍곡선 함수는 테일러 전개로 근사할 수 있다. 500km 이하에서는 2항까지만 취해도 실용상 문제가 적다고 알려져 있다.

가역 선로에서는 다음 관계가 성립한다.

AD−BC=1

선로가 좌우 대칭이면 다음이 추가로 성립한다.

A=D

3. 등장 배경과 필요성

송전선로는 저항, 인덕턴스, 정전용량이 길이 전체에 고르게 분포한다. 따라서 길이가 길면 한 점의 전압만으로 다른 점의 전압을 바로 구할 수 없다. 이 문제를 풀기 위해 선로를 분포정수 회로로 보고, 그 결과를 입출력 관계식으로 정리한 것이 4단자 정수다.

4단자 정수를 쓰면 여러 요소가 직렬로 연결된 계통도 쉽게 계산할 수 있다. 변압기, 리액터, 다른 선로가 차례로 이어질 때 각 구간의 행렬을 곱하면 전체의 합성 4단자 정수가 나온다. 이 점 때문에 계통 해석과 설계에서 기본 표현으로 널리 쓰인다.

실무에서는 무부하나 경부하 상태의 전압 상승을 예측할 때 4단자 정수가 필요하다. 송전단 전압이 정격일 때 수전단 전압이 얼마나 오르는지, 이를 막기 위해 수전단에 얼마만큼의 조상설비가 필요한지를 계산한다. 이 계산이 시험에서 자주 나오는 이유다.