대칭좌표법 3상·선간단락

왜 배우는가: 대칭좌표법은 불평형 고장을 정상분·역상분·영상분으로 나눠 풀게 하는 기본 도구이며, 3상 단락과 선간단락의 전압·전류 관계를 설명하는 문제는 1교시 용어형과 3교시 논술형에 반복해서 출제된다. 실무에서는 보호계전 설정과 차단기 용량 산정의 출발점이 된다.

출제 이력: 제137회 1교시 11번, 제116회 3교시 5번, 제102회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

대칭좌표법은 불평형 3상 전압·전류를 정상분·역상분·영상분의 대칭 성분으로 분해하여 고장 계산을 단상 등가회로로 바꾸는 해석법이다.

• 대칭좌표법(Method of Symmetrical Components)
• 정상분(Positive Sequence)
• 역상분(Negative Sequence)
• 영상분(Zero Sequence)
• 선간단락(Line-to-Line Fault)
• 3상 단락(Three-Phase Fault)
• 고장 전류 위상 관계
• 등가 임피던스(Sequence Impedance)

2. 개념 풀이

대칭좌표법은 전력계통 고장을 계산할 때 쓰는 가장 기본적인 방법이다. 쉽게 말하면, 세 상의 값이 제각각인 불평형 상태를 세 개의 평형 성분으로 나누어 각각 따로 계산한 뒤 합치는 방법이다.

정식으로는 불평형 3상 페이저 세트 (\dot{V}_a, \dot{V}_b, \dot{V}_c)를 다음 세 성분으로 분해한다. 여기서 a=e^{j120^\circ} 이다.

$\dot{V}_0=\frac{1}{3}(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c)$

$\dot{V}_1=\frac{1}{3}(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c)$

$\dot{V}_2=\frac{1}{3}(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c)$

각 기호의 뜻은 다음과 같다. \dot{V}_0, \dot{V}_1, \dot{V}_2는 영상·정상·역상 전압(V)이다. a는 120° 회전 연산자이다.

• 정상분: 원래 전원과 같은 상회전 방향(a-b-c)을 가진 평형 3상 성분이다. 발전기가 만드는 전압이 대부분 이 성분이다.
• 역상분: 정상분과 반대의 상회전 방향(a-c-b)을 가진 평형 3상 성분이다. 회전기기에서 제동 토크를 만든다.
• 영상분: 세 상의 크기와 위상이 모두 같은 단상 성분이다. 접지선이나 대지를 통해서만 흐른다.

핵심 원리는 선형계통에서 중첩이 성립한다는 점이다. 그래서 대칭 성분 회로를 따로 풀어도 결과를 다시 합치면 실제 상 전압과 전류가 된다.

3. 등장 배경과 필요성

3상 계통이 평형이면 전 상을 같은 식으로 계산할 수 있고, 한 상의 등가회로(단상 등가회로)만 풀면 된다. 그러나 1선 지락이나 2선 단락처럼 한 상이나 두 상만 고장나면 세 상의 값이 서로 달라 단상 등가로 바로 풀 수 없다.

이 문제를 풀기 위해 Fortescue가 제안한 대칭 성분법이 도입되었다. 불평형 계통을 평형 성분 세 개로 바꾸면 각 성분은 다시 평형 회로로 다룰 수 있다. 이 방법 덕분에 고장 계산과 계전기 설정이 단순해졌다.

3상 단락은 평형 고장이므로 정상분 회로만으로 계산할 수 있다. 반면 선간단락은 역상분 회로까지 필요하며, 1선 지락은 세 성분 회로를 모두 직렬로 연결해야 한다. 따라서 고장 종류별로 어느 성분 회로가 살아 있는지 파악하는 것이 이 개념을 쓰는 출발점이다.