송전선로 인덕턴스

왜 배우는가: 송전선로 인덕턴스는 선로의 리액턴스와 임피던스를 결정하며, 전압강하·송전 가능 전력·안정도 계산의 출발점이다. 시험에서는 정의, 종류 구분, 기하평균거리를 이용한 작용 인덕턴스 계산이 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제138회 4교시 3번, 제114회 4교시 5번, 제101회 1교시 12번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

송전선로 인덕턴스는 전선에 흐르는 전류가 만드는 자속과 쇄교하여 생기는, 선로 단위길이(1km)당 mH로 나타내는 인덕턴스다.

• 자기 인덕턴스(Self Inductance): 한 도체의 전류가 그 도체 자신과 쇄교하는 자속으로 정의되는 인덕턴스다.
• 상호 인덕턴스(Mutual Inductance): 한 도체의 전류가 다른 도체와 쇄교하는 자속으로 정의되는 인덕턴스다.
• 작용 인덕턴스: 자기 인덕턴스와 주변 도체의 영향을 모두 합하여 1선 기준으로 나타낸 상당 인덕턴스다.
• 기하평균거리(GMD, Geometric Mean Distance): 선간 거리들의 기하평균으로, 도체 사이의 평균 간격을 나타낸다.
• 기하평균반지름(GMR, Geometric Mean Radius): 도체 내부 자속을 반영한 등가 반지름으로, 단일 원형 도체에서는 0.7788r로 구한다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 인덕턴스는 전류가 만드는 자속을 얼마나 잘 붙잡아 두는지를 나타내는 값이다. 인덕턴스가 크면 같은 전류에 대해 유도성 리액턴스가 커지고, 그 결과 전압강하와 전력 전달 한계가 나빠진다.

정식 정의는 두 가지로 나눠 쓴다. 자기 인덕턴스는 도체 내부 자속과 도체 외부 자속이 모두 포함되며, 외부 자속 부분이 선로 인덕턴스의 대부분을 차지한다. 상호 인덕턴스는 다른 상 또는 다른 회선의 전류가 만든 자속이 해당 도체와 얽히는 크기다.

3상 선로에서는 각 상의 자속이 주변 두 상의 영향을 받으므로 자기 인덕턴스만으로는 부족하다. 이때 주변 도체의 영향까지 합친 값을 작용 인덕턴스라고 하며, 답안에서는 이 값을 선로 계산에 사용한다.

작용 인덕턴스는 다음 식으로 구한다. 단상 2선 도체 간격 D, 도체 반지름 r에 대해 자속 쇄교 식을 정리하면 2×10^-7 ln(D/r) H/m가 되고, 이를 mH/km 단위와 상용로그로 바꾸면 다음과 같다.

L = 0.4605 log10(GMD/GMR) mH/km

여기서 GMD는 선간 기하평균거리(m), GMR은 도체의 기하평균반지름(m)이다. 3상 선로에서 세 상의 간격이 같으면 GMD는 선간 거리 D가 된다. 간격이 다르면 GMD = (D_ab × D_bc × D_ca)^(1/3)으로 구한다.

예를 들어 정삼각형 배치에서 간격 D, 도체 반지름 r인 경우 L = 0.4605 log10(D/(0.7788r)) mH/km가 된다. 간격이 다른 비정삼각형 배치에서는 세 선간 거리의 기하평균으로 GMD를 구한 뒤 같은 식에 대입한다.

3. 등장 배경과 필요성

송전은 전압을 높여 전류를 줄이고 손실을 낮추는 방식으로 운용된다. 장거리 송전에서는 선로의 유도성 리액턴스 X = 2πfL이 전압강하와 전력 전달 능력을 결정하므로, 인덕턴스를 정확히 알아야 한다. 두 모선 사이의 전력 전달은 대략 P = V1V2 sinδ / X로 표현되므로 X가 커지면 전달 가능 전력이 줄어든다.

초기 송전선은 단상 2선식으로 시작했고 이후 3상 3선식이 표준이 되었다. 3상 선로를 정삼각형으로 배치하면 세 상의 인덕턴스가 같아지지만, 철탑 구조와 지형 때문에 실제 선로는 수평 배치 등 비대칭 배치가 많다. 비대칭 배치에서는 상마다 인덕턴스가 달라져 전압 불평형과 유도 장해가 생긴다.

이 문제를 줄이기 위해 전선 위치를 일정 구간마다 바꾸는 연가(Transposition)를 시행한다. 연가를 하면 각 상의 인덕턴스가 구간 평균으로 같아지며, 이때 작용 인덕턴스 계산에 기하평균거리를 사용하는 이유가 명확해진다. 따라서 송전선로 인덕턴스는 전압강하 계산, 안정도 해석, 페란티 현상 검토, 유도 장해 평가의 공통 기초 값이다.

또한 복도체 방식이나 송전 전압 상승에 따라 전선 간격과 도체 배치가 바뀌면 GMD가 달라진다. 설계 단계에서 배치 변경이 인덕턴스에 미치는 영향을 계산해야 하는 배경이 여기에 있다.

4. 구성요소·원리·절차

송전선로 인덕턴스는 도체에 흐르는 전류가 만드는 자속 쇄교수로 정해진다. 3상 1회선 선로에서는 세 도체가 서로의 자속에 영향을 주므로, 한 도체의 인덕턴스를 구할 때 주변 도체의 영향을 함께 고려한 작용인덕턴스를 쓴다. 그 계산은 세 가지 구성요소의 조합으로 이루어진다.

자기 인덕턴스는 도체의 등가반지름(기하평균 반지름, GMR) r' 로 표현된다. 상호 인덕턴스는 도체 사이 거리 D 로 표현된다. 두 값을 합치면 선로 전체의 작용인덕턴스가 된다.

원리는 다음과 같다. 전류의 합이 0이어야 한다는 키르히호프 전류법칙과 도체 외부 거리 가정을 적용하면, 상호 항이 줄어들어 식이 간단해진다. 그 결과 작용인덕턴스는 등가반지름의 로그에만 의존하는 형태가 된다. 이것이 등가반지름을 이용한 작용인덕턴스 식이다.

$L = 0.05 + 0.4605\log_{10}\frac{D_{eq}}{r'} \quad \text{(mH/km)}$

L : 작용인덕턴스(mH/km), D_{eq} : 기하평균 선간거리(m), r' : 도체의 등가반지름 GMR(m).

0.4605 는 자연로그를 상용로그로 바꾼 계수이고, 0.05 는 도체 내부 자속에 의한 항이다.

인덕턴스 계산 절차는 다음과 같다.

• 도체의 실제 반지름과 연선 구조로 등가반지름 r' 을 구한다.
• 각 상 사이 거리 D_{12}, D_{23}, D_{31} 을 구한다.
• 상간거리의 기하평균 D_{eq} = \sqrt[3]{D_{12} D_{23} D_{31}} 을 계산한다.
• 1상 작용인덕턴스 L = 0.05 + 0.4605\log_{10}(D_{eq}/r') 에 대입한다.
• 단위를 mH/km 로 정리하고 결과가 상식 범위(약 1mH/km 안팎)인지 확인한다.

정삼각형 배치에서는 세 상 사이 거리가 모두 같아 D_{eq} = D 가 되므로 식이 가장 단순해진다. 비정삼각형 배치에서는 기하평균 선간거리를 반드시 구해야 한다. 전선 연가를 하면 각 상의 인덕턴스 차이가 줄어 불평형이 감소한다.

5. 관련 법령·기준·표준

송전선로 인덕턴스 계산은 법령으로 정해진 값이 아니라 전력공학의 기본 이론식이다. 따라서 이 절의 기준은 계산에 쓰는 기준값과 설계 관례다. 관련 기준은 다음과 같다.

송전선로 설계에서 인덕턴스는 전압강하와 안정도 계산에 쓰인다. 전기설비 관련 판단기준은 한국전기설비규정(KEC)을 따른다. 이 절에서 전선의 정확한 등가반지름과 연선 계수는 도체 규격표를 따른다.

개정 연혁으로는 전기설비기술기준의 판단기준이 2021-01-01 부터 한국전기설비규정(KEC)으로 대체된 점이 있다. 인덕턴스 계산식 자체는 이론식이라 개정에 따라 바뀌지 않는다.