2상 단락고장 해석

왜 배우는가: 2상 단락고장은 상간 접촉으로 발생하는 대표적인 불평형 고장이다. 고장전류와 건전상 전압을 구해야 보호계전기 정정과 차단기 용량 검토가 가능하다. 시험에서는 1교시 용어형, 2~4교시 계산·논술형으로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제139회 1교시 7번, 제119회 4교시 3번, 제112회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

2상 단락고장은 3상 계통에서 두 상이 고장점에서 직접 접촉해 지락 없이 단락되는 불평형 고장이다. 해석은 대칭분 회로를 이용한다. 답안 첫 줄은 다음처럼 쓴다.

2상 단락고장은 지락 없이 두 상이 고장점에서 직접 접촉하는 선간 단락으로, 정상분과 역상분 회로를 직렬 연결해 해석한다.

핵심 키워드

• 선간단락
• 2상 단락
• 대칭좌표법
• 정상분 임피던스
• 역상분 임피던스
• 건전상 전압
• 고장점 전류

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 두 전선이 서로 붙어서 전원이 짧게 연결되는 고장이다. 한 상이 대지와 닿는 지락과 달리 대지로 빠져나가는 전류가 없다. 따라서 고장 상의 대지 방향 성분은 해석에서 제외된다.

정식으로는 b상과 c상이 고장 임피던스 0으로 연결된 불평형 고장이다. 고장점 조건은 I_a=0, I_b=-I_c이고, 영상분 전류는 I_0=0이다. 중성점 접지 방식은 영상분 회로에만 영향을 주므로 2상 단락 전류 계산에는 들어가지 않는다.

대칭좌표법(Symmetrical Components)은 불평형 3상량을 영상분, 정상분, 역상분 세 성분으로 나누어 푸는 방법이다. 상회전 연산자 a=1\angle120^\circ를 사용한다. 각 대칭분은 서로 독립된 단상 회로로 해석할 수 있다.

정상분 임피던스(Z_1)는 정상분 전류가 흐를 때 계통이 보이는 임피던스다. 발전기 기전력은 정상분 회로에만 들어간다. 역상분 임피던스(Z_2)는 역상분 전류가 흐를 때 보이는 임피던스다. 회전기에서는 보통 Z_2가 Z_1과 다른 값을 가진다.

2상 단락의 핵심 식은 정상분 회로와 역상분 회로를 직렬로 잇는 데서 나온다. 고장 전 상전압을 E라 하면 다음과 같다.

$I_1=-I_2=\frac{E}{Z_1+Z_2}$

여기서 I_1은 정상분 전류(A), E는 고장 전 상전압(V), Z_1, Z_2는 각 대칭분 임피던스(Ω)다. 선간전압 V_{LL}이 주어지면 E=V_{LL}/\sqrt{3}을 쓴다.

고장 상의 전류 크기는 정상분 전류의 \sqrt{3}배다.

$|I_b|=|I_c|=\sqrt{3}\,|I_1|=\frac{\sqrt{3}\,E}{Z_1+Z_2}$

여기서 I_b=-j√3 I_1이 성립한다. 건전상 a상의 대지 전압은 정상분과 역상분 전압의 합으로 구한다. 역상분 전압이 정상분 전압과 같은 방향으로 더해지므로 a상 전압은 정상 전압보다 낮아진다.

3. 등장 배경과 필요성

3상 계통의 고장은 3상 단락, 선간 단락, 1선 지락, 2선 지락으로 나눈다. 3상 단락은 평형 고장이라 한 상만 해석해도 된다. 그러나 2상 단락은 상 사이의 대칭이 깨진 불평형 고장이므로 단순 상별 해석으로 풀 수 없다. 이 때문에 대칭좌표법이 필요해졌다.

선로 고장 시 보호계전기는 고장전류 크기로 동작 여부를 판단한다. 2상 단락 전류는 3상 단락 전류보다 작다. 따라서 계전기가 최소 고장전류에서도 동작하는지 확인해야 한다. 이때 2상 단락 전류 값이 기준이 된다.

차단기의 차단 용량은 가장 큰 고장전류로 정한다. 3상 단락이 대체로 가장 크지만, 발전기 단자 부근에서 2상 단락과 3상 단락의 비율이 달라질 수 있다. 그래서 두 고장 모두 계산해 비교한다. 발전기 단자에서는 Z_2=Z_1일 때 2상 단락 전류가 3상 단락 전류의 86.6%가 된다.

건전상 전압을 구하는 것도 중요하다. 2상 단락 시 건전상 전압 변화는 같은 모선에 연결된 부하기기의 전압 여유를 결정한다. 전압 저하가 크면 전동기 기동 불량이나 제어 오동작이 생길 수 있다. 따라서 고장 해석은 전류와 전압을 함께 구한다.

계통이 증설되거나 발전기 운전 상태가 바뀌면 Z_1과 Z_2가 달라진다. 이때 기존 정정값을 그대로 쓰면 보호 협조가 어긋날 수 있다. 대칭분 임피던스를 주기적으로 갱신해야 하는 이유다.

4. 구성요소·원리·절차

2상 단락고장은 두 도체가 직접 접촉해 서로 단락되는 선간고장이다. 지락 경로가 없으므로 영상분 회로는 연결되지 않고, 정상분과 역상분 회로만 고장점에서 직렬로 묶인다. 이 구조가 전류·전압 계산과 3상 단락 대비 크기 비교의 출발점이다.

정상분과 역상분은 고장 전 내부기전력 E를 가진 정상분 회로와 기전력이 없는 역상분 회로로 나뉜다. 두 회로는 고장점에서 직렬이다.

표 아래 설명: 영상분은 대지로 흐르는 전류 경로가 있어야 성립한다. 2상 단락에는 대지 경로가 없으므로 I_0=0이다. 따라서 Z_0는 계산식에 나타나지 않는다.

원리는 고장 경계조건과 대칭분 관계식이다. 고장 조건은 I_a=0, I_b=-I_c이다. 대칭분으로 바꾸면 I_0=0, I_2=-I_1이 된다. 두 식을 대칭분 방정식에 대입하면 정상분과 역상분 전류의 크기가 같고 방향이 반대임을 얻는다.

절차는 다음과 같다.

• 고장 조건으로 I_a=0, I_b=-I_c를 세운다.
• 대칭분으로 바꿔 I_0=0, I_2=-I_1을 얻는다.
• 정상분 회로에 E와 Z_1을, 역상분 회로에 Z_2를 두고 고장점에서 직렬로 연결한다.
• I_1=E/(Z_1+Z_2)를 구한다.
• I_2=-I_1을 쓰고 상전류 I_b=a^2I_1+aI_2, I_c=aI_1+a^2I_2를 계산한다.
• 상전류 식을 정리해 I_b=-j\sqrt{3}I_1, I_c=-I_b를 얻는다.
• 건전상 전압 V_a=V_1+V_2를 구한다.

다음은 절차를 한눈에 보이는 흐름도이다.

2상 단락은 영상분을 제외한 정상분·역상분 회로를 고장점에서 직렬 연결해 푼다

건전상 전압은 두 대칭분 전압의 합이다. 고장점 전압 V_1=E-I_1Z_1, V_2=-I_2Z_2=I_1Z_2이므로 V_a=V_1+V_2이다. 식을 정리하면 V_a=2EZ_2/(Z_1+Z_2)가 된다.

$I_1=\frac{E}{Z_1+Z_2},\quad I_b=-j\sqrt{3}\,I_1,\quad V_a=\frac{2EZ_2}{Z_1+Z_2}$

기호: E는 고장 전 상전압(V), Z_1·Z_2는 정상·역상 임피던스(Ω), I_1은 정상분 전류(A)이다.

5. 관련 법령·기준·표준

2상 단락고장 해석은 법령이 정한 값이 아니라 대칭좌표법과 계통 임피던스 자료에 따른다. 따라서 적용 기준은 계통 해석 관행과 설계 자료다. 국내 전력계통 해석에서는 전력거래 관련 규정과 계통 보호 설계 기준을 함께 쓴다.

표 아래 설명: 표의 값은 설계 자료에서 얻는다. 고장 계산의 핵심 값은 정상·역상 임피던스 비와 기전력이다.

계통 해석에서 쓰는 핵심 값은 다음과 같다.

• 상전압 환산: 선간전압 V_{LL}이 주어지면 E=V_{LL}/\sqrt{3}을 쓴다.
• 상전류 배율: 2상 단락 전류는 3상 단락 전류의 \sqrt{3}/2배(약 0.866배)이다.
• 역상 임피던스: 회전기 역상 임피던스는 정상 임피던스와 다르므로 Z_2를 따로 구한다.
• 영상 임피던스: 2상 단락에는 영상분 회로 미사용이다.