직렬·병렬공진

왜 배우는가: 공진은 회로가 특정 주파수에서 가장 강하게 반응하는 현상이라, 필터·동조회로 설계와 전력계통의 고조파 대책을 이해하는 기초가 된다. 직렬공진과 병렬공진은 임피던스와 전류가 반대로 움직여서 두 경우를 짝지어 익혀야 한다. 기술사 시험에서는 1교시 용어 문제와 2~4교시 RLC 회로 해석 문제로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제130회 2교시 5번, 제116회 1교시 5번, 제92회 1교시 8번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

직렬공진은 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 같아져 임피던스가 최소(R)가 되는 현상이다.

병렬공진은 어드미턴스의 허수부가 0이 되어 임피던스가 최대가 되는 현상이다.

• 공진(Resonance)
• 공진주파수(Resonant Frequency)
• 직렬공진(Series Resonance)
• 병렬공진(Parallel Resonance)
• 리액턴스(Reactance)
• 임피던스(Impedance)
• 어드미턴스(Admittance)
• 선택도(Quality Factor, Q)

2. 개념 풀이

공진은 쉽게 말해 회로가 가장 편하게 진동하는 주파수에서 일어나는 현상이다. 인덕터(L)는 전류 변화를 막고 커패시터(C)는 전압 변화를 막는다. 두 소자가 서로 상대의 효과를 상쇄하는 주파수가 생기면, 에너지가 L과 C 사이를 주고받으며 회로가 그 주파수에 강하게 반응한다.

정식으로는 회로의 리액턴스 합이 0이 되어 전압과 전류가 동상(같은 위상)이 되는 조건을 공진이라 한다. 이때의 주파수가 공진주파수다. 공진의 종류는 소자 연결 방식에 따라 직렬공진과 병렬공진으로 나뉜다.

직렬 RLC 회로의 임피던스는 다음과 같다.

$Z = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$

여기서 R은 저항(Ω), \omega는 각주파수(rad/s), L은 인덕턴스(H), C는 커패시턴스(F)다. 리액턴스 항이 0이 되는 조건은 \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C}이다. 이를 풀면 공진 각주파수와 공진주파수가 나온다.

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

공진 시 임피던스는 Z = R로 최소가 되고, 회로 전류는 I_0 = V/R로 최대가 된다. 저항이 작을수록 전류가 크게 늘어난다.

병렬 RLC 회로는 저항을 병렬로 두고 어드미턴스로 해석한다. 어드미턴스는 Y = \frac{1}{R} + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)이다. 허수부가 0이 되는 조건이 직렬과 같은 \omega_0이며, 이때 임피던스는 최대가 되고 전원에서 보는 전류는 최소가 된다. 그러나 L과 C 사이에는 큰 순환전류가 흐른다.

선택도 Q는 공진의 날카로움을 나타내는 지표다. 직렬 회로에서는 Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}로 정의한다. Q가 클수록 공진 곡선이 뾰족하고 대역폭이 좁아진다.

3. 등장 배경과 필요성

공진 개념은 라디오 수신에서 필요해졌다. 수신기는 여러 방송 주파수 중 하나만 골라 받아야 하므로, LC 회로를 특정 주파수에 맞추어 나머지 신호를 걸러낸다. 이때 쓰는 원리가 직렬·병렬공진이다. 직렬공진은 원하는 주파수의 신호를 통과시키는 대역통과 특성을 주고, 병렬공진은 그 주파수의 신호를 차단하는 특성을 준다.

전력계통에서는 공진이 설계의 제약이 된다. 역률 개선용 진상 콘덴서와 계통의 인덕턴스가 만나면 특정 고조파 차수에서 병렬공진이 생긴다. 병렬공진이 일어나면 고조파 전류가 확대되어 전압 파형이 일그러지고 기기가 과열된다. 반대로 직렬공진 조건에서는 고조파 전류가 콘덴서 쪽으로 흡수되어 전원 측으로 흘러나오지 않는다.

따라서 공진은 원하는 신호를 얻기 위해 쓰는 원리이면서, 전력계통에서는 피해야 할 현상이다. 답안에서는 두 측면을 함께 서술해야 점수를 받는다. 필터 설계에서는 Q와 대역폭을, 계통에서는 공진차수와 단락용량 관계를 함께 제시한다.

4. 구성요소·원리·절차

직렬공진과 병렬공진은 같은 L·C 소자를 어떻게 연결하느냐에 따라 나타나는 공진 현상이다. 두 경우 모두 인덕터의 유도성 리액턴스 X_L = \omega L 과 커패시터의 용량성 리액턴스 X_C = \frac{1}{\omega C} 가 같아지는 공진 조건에서 성립한다.

직렬공진에서는 전류가 최대가 되므로 전류 공진이라 하고, 병렬공진에서는 임피던스가 최대가 되므로 전압 공진이라고 부르는 것이 일반적이다. 두 경우 모두 공진 주파수는 같은 식으로 구한다.

직렬공진의 원리는 다음과 같다. 공진 주파수에서 X_L 과 X_C 가 상쇄되어 총 리액턴스 X = X_L - X_C = 0 이 된다. 따라서 임피던스는 저항 성분만 남고, 전원 전압이 같을 때 전류는 최대가 된다. 공진 주파수보다 높은 주파수에서는 유도성, 낮은 주파수에서는 용량성으로 동작한다.

병렬공진의 원리는 다음과 같다. 탱크회로(L과 C 병렬부)의 어드미턴스 허수부가 0이 되는 지점에서 탱크회로 임피던스가 극대가 된다. 이때 L 에 흐르는 전류와 C 에 흐르는 전류가 크기 같고 위상 반대가 되어 서로 상쇄되므로 공급 전류는 최소가 된다. 탱크 안에서는 L과 C 사이에 에너지가 왕복하며 큰 전류가 순환한다.

직렬공진은 임피던스 최소·전류 최대, 병렬공진은 임피던스 최대·전류 최소

직렬공진 주파수의 계산 절차는 다음과 같다.

• 공진 조건 \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} 을 세운다.
• 양변을 정리하여 \omega_0^2 = \frac{1}{LC} 을 얻는다.
• f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} 로 주파수를 구한다.
• 공진 상태의 임피던스 Z = R, 전류 I_0 = V/R 을 구한다.
• 각 소자 전압 V_L = X_L I_0, V_C = X_C I_0 를 계산한다.

직렬공진 주파수는 f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} 이고, Q 값은 Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} 로 쓴다. 여기서 L 은 인덕턴스(H), C 는 커패시턴스(F), R 은 저항(Ω)이다. 직렬공진에서 L 과 C 양단 전압은 각각 Q 배가 되어 전원 전압보다 커질 수 있다.

병렬공진에서 저항을 포함한 정확한 공진 주파수는 f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\sqrt{1-\frac{R^2 C}{L}} 로 쓰며, 저항이 작으면 직렬공진과 같은 식으로 근사한다. 결과는 \omega_0 = 2\pi f_0 의 상대 관계로 확인한다.

공진 주파수 f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

5. 관련 법령·기준·표준

직렬·병렬공진은 전기기초 이론이므로 법령으로 정한 수치보다는 공식과 설계 기준이 중심이다. 발송배전 실무에서는 고조파 공진과 계통 공진을 검토할 때 이 식을 그대로 적용한다. 전력용 콘덴서와 리액터의 설계는 한국전기설비규정(KEC)과 해당 제조 기준을 따른다.

전력계통에서는 단락용량이 커지면 공진 차수가 높아져 고조파 발생량이 줄어든다. 반대로 콘덴서 용량이 커지면 공진 차수가 낮아져 저차 고조파가 확대될 수 있다. 이 관계는 발송배전 설계에서 필터와 콘덴서 용량을 정할 때 기준이 된다.