고장임피던스 단락전류·단자전압

왜 배우는가: 고장임피던스를 포함한 불평형 고장은 3상 대칭 고장과 달리 상마다 전류와 전압이 달라서, 단락전류와 단자전압을 구하는 계산 흐름을 알아야 보호계전기 정정과 차단기 선정을 바르게 할 수 있다. 발송배전기술사 시험에서는 선간단락, 1선지락, 2선지락 같은 유형을 번갈아 묻고, 고장임피던스가 주어진 조건으로 대칭분 회로를 연결하는 과정을 반복해서 요구한다.

출제 이력: 제136회 4교시 6번, 제113회 3교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

고장임피던스 단락은 고장점 사이에 임피던스 Zf 가 있는 불평형 고장으로, 대칭분 회로를 연결해 고장전류와 각 상 단자전압을 구한다.

• 고장임피던스
• 대칭분(정상분·역상분·영상분)
• 선간단락
• 대칭좌표법
• 고장전류
• 단자전압
• 대칭분 회로 연결

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 두 선이 고장 임피던스를 통해 서로 붙은 상태다. 이때 세 상의 전류와 전압은 서로 달라 한꺼번에 풀기 어렵다. 그래서 불평형 값을 대칭분 세 성분으로 나누어 각각 계산한 뒤 다시 합친다.

정식 정의는 다음과 같다. 고장임피던스 단락은 고장점의 두 상(또는 한 상과 대지) 사이에 임피던스 Zf 가 삽입된 상태의 고장이다. 해석은 고장점에서 본 정상·역상·영상 임피던스로 각 대칭분 회로를 만들고, 고장 조건에 맞게 세 회로를 연결하는 순서로 진행한다.

정상분 은 발전기 기전력 Ea 에서 나오는 성분이다. 상회전 방향이 원래 상순과 같고, 정상분 임피던스 Z1 을 본다. 역상분 은 상순이 반대인 성분으로 역상분 임피던스 Z2 를 본다. 영상분 은 세 상에 크기와 위상이 같게 나타나는 성분으로 영상분 임피던스 Z0 를 보며, 대지나 중성선으로만 흐를 수 있다.

선간단락(b상과 c상 사이 고장)에서는 무고장 상인 a상을 기준으로 식을 세운다. 두 고장 상의 전류 합이 0이므로 Ib = -Ic 가 성립하고, 대지로 빠지는 전류가 없으므로 Ia0 = 0 이 된다. 따라서 영상분 회로는 연결되지 않고, 정상분과 역상분만 고장점에서 연결된다.

고장 임피던스를 포함한 정상분 전류는 다음과 같다. 공식에서 Ea 는 고장 전 a상 무부하 유도전압, Z1 과 Z2 는 정상·역상 임피던스, Zf 는 고장임피던스다.

$I_{a1} = \frac{E_a}{Z_1 + Z_2 + Z_f}, \quad I_{a2} = -I_{a1}$

고장 상 전류는 대칭분을 다시 합쳐 구한다. a는 120도 회전 연산자(a = e^{j120^\circ})다.

$I_b = a^2 I_{a1} + a I_{a2} = (a^2 - a) I_{a1} = -j\sqrt{3}\, I_{a1}$

단자전압은 대칭분 전압의 합으로 구한다. 선간단락에서 a상 단자전압은 V_a = E_a - (Z_1 - Z_2) I_{a1} 이며, 정상·역상 임피던스가 같을 때는 V_a = E_a 가 된다. 이 경우 b, c 상 전압은 고장점에서 같은 크기로 낮아지므로, 고장 상 단자전압이 무고장 상보다 낮은 값을 가진다.

핵심 용어는 다음과 같이 쓴다. 고장임피던스 Zf 는 고장점에 삽입된 임피던스로, 0이면 완전 단락, 값이 커지면 고장전류가 줄어든다. 대칭좌표법 은 불평형 3상 값을 세 대칭분 벡터의 합으로 나타내는 방법이다. 대칭분 회로 연결 은 고장 종류에 따라 정상·역상·영상 회로를 고장점에서 직렬 또는 병렬로 잇는 규칙이다.

3. 등장 배경과 필요성

3상 계통은 평상시 대칭이지만, 지락이나 선간 고장이 생기면 상마다 임피던스가 달라져 불평형이 된다. 불평형 회로를 그대로 풀면 상마다 식이 얽혀 계산이 복잡해진다. 이 때문에 불평형 해석을 단순한 대칭 회로 계산으로 바꾸는 방법이 필요해졌다.

대칭좌표법은 발전기, 변압기, 송전선, 케이블의 정상·역상·영상 임피던스를 단선도에 확장해 보여 준다. 이렇게 하면 단선-지락 같은 불평형 고장도 대칭분 회로 세 개로 나누어 해석할 수 있다. 이 기술은 고차 위상 시스템으로도 확장할 수 있다.

이 방법은 제2차 세계대전 이후 비대칭 고장 분석에서 인정된 방법으로 자리 잡았다. 대칭분 전류 세트는 정상분이면 정상 회전 자계, 역상분이면 반대 방향 회전 자계를 만들고, 영상분은 회전하지 않는 진동 자계를 만든다. 이 성분은 시퀀스 필터로 검출할 수 있어서 역상 전압과 전류를 쓰는 보호계전기 설계의 근거가 되었다.

현장에서 이 해석이 필요한 이유는 두 가지다. 첫째, 고장임피던스가 있으면 고장전류가 완전 단락보다 작아져 보호계전기의 감도 판단이 달라진다. 둘째, 차단기 정격 선정과 계전기 정정은 고장 상의 최대 전류를 기준으로 하므로, 불평형 고장 전류를 정확히 구해야 설비 과소·과대 설계를 막을 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

고장임피던스 단락은 3상 중 두 상(b-c상)이 고장임피던스 Zf를 통해 서로 단락된 불평형 고장이다. 이런 고장은 대칭좌표법(대칭분 분해)으로 정상분·역상분·영상분 회로로 나누어 해석한다. 발전기 기본식은 각 대칭분 임피던스(정상분 임피던스 Z1, 역상분 임피던스 Z2, 영상분 임피던스 Z0)로 표현된다.

b-c상 고장 시 a상 전류 Ia는 0이고, Ib = -Ic 관계가 성립한다. 이 조건으로 영상분 전류 I0 = 0이 되어 영상분 회로가 고장점과 연결되지 않는다.

표의 각 회로는 고장 종류에 따라 연결 방식이 달라진다. 이 고장에서는 정상분과 역상분 회로만 고장점에서 병렬로 연결되고 영상분은 개방된다. 연결 방식의 원리를 이해하면 답안에서 회로 구성을 설명하기 쉽다.

• 계통의 각 기기(발전기·변압기·선로)의 정상분·역상분·영상분 임피던스를 같은 기준 용량으로 환산한다.
• 세 대칭분 회로를 그린다.
• 고장 종류에 맞게 회로를 연결한다. b-c 고장은 정상분·역상분을 병렬, 영상분은 개방으로 둔다.
• 정상분 전류 Ia1 = Ea / (Z1 + Z2 + Zf) 형태로 고장 전류를 구한다.
• 대칭분을 상 값으로 환산해 각 상 전류와 단자전압을 구한다.

고장 전류 해석식은 다음과 같다.

$I_{a1} = \frac{E_a}{Z_1 + Z_2 + Z_f}$

$I_{b} = -I_{c} = \frac{-j\sqrt{3}\,E_a}{Z_1 + Z_2 + Z_f}\quad(\text{Z}_f\text{ 포함 시 } Z_1+Z_2 \text{ 대신 } Z_1+Z_2+Z_f \text{ 사용})$

여기서 E_a는 a상 무부하 유도 전압(V), Z_1·Z_2는 정상분·역상분 임피던스(Ω), Z_f는 고장임피던스(Ω)다. 고장 전류 크기는 E_a 대비 Z_1+Z_2+Z_f에 반비례한다.

단자전압은 대칭분 합으로 구한다. 고장 상의 단자전압은 단락점에서 기준 전압의 절반 수준으로 떨어지며, 건전상 a상 전압은 V_a = E_a - I_{a1}Z_1 형태로 정상분 강하만 받는다.

5. 관련 법령·기준·표준

이 고장해석은 법령 기준이 아니라 대칭좌표법의 이론식과 계통 설계 관행을 따른다. 기준이 되는 값은 설비의 임피던스 값과 기준 용량이다. 아래 표는 해석에 쓰는 기준 항목을 정리한 것이다.

표의 값은 교육 자료의 해석 조건을 따른 것이며, 설비별 실제 임피던스는 설계 자료를 따른다. 기준 용량을 맞추지 않으면 %Z 환산 결과가 달라지므로 환산 기준을 먼저 정한다.

전기설비의 단락 전류 계산 자체는 한국전기설비규정(KEC)의 단락전류 계산 절차와 함께 쓴다. 해석 방법은 개정 여부와 관계없이 대칭좌표법 원리가 같다.

6. 유형과 비교

고장임피던스 단락은 고장 형태에 따라 해석 방법과 고장전류 크기가 달라진다. 3상 단락은 대칭 고장이므로 단상 등가회로로 바로 풀 수 있고, 선간 단락(b-c상 고장임피던스 Zf 경유)은 불평형 고장이므로 대칭분 분해가 필요하다. 아래 표는 고장 형태별 해석 방법과 고장전류 특성을 비교한 것이다.