모선 어드미턴스 행렬

왜 배우는가: 모선 어드미턴스 행렬은 전력조류 계산, 단락전류 계산, 안정도 해석 등 거의 모든 전력계통 해석의 출발점이다. 망 방정식 대신 모선 방정식을 쓰면 미지수가 적고 행렬이 희소해져 컴퓨터 계산이 효율적이므로 기술사 시험에서 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제118회 1교시 13번, 제92회 3교시 3번, 제89회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

모선 어드미턴스 행렬(Y-bus)은 계통의 모든 모선을 노드로 보고, 모선 간 어드미턴스를 원소로 하는 정방 대칭 행렬로서 모선 전류와 모선 전압을 선형으로 연결한다.

핵심 키워드

• 모선 어드미턴스 행렬(Y-bus)
• 자기 어드미턴스(Self-admittance)
• 상호 어드미턴스(Mutual admittance)
• 키르히호프 전류 법칙(KCL)
• 모선 방정식(Nodal equation)
• 희소 행렬(Sparse matrix)
• 대지 어드미턴스(Shunt admittance)
• Zbus 역행렬 관계

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 계통의 각 모선에 얼마의 전류를 넣었을 때 각 모선 전압이 어떻게 변하는지를 한 줄의 행렬식으로 정리한 표이다. 전기를 가하는 쪽(발전기, 주입 전류)과 받는 쪽(부하)이 모두 모선에 붙어 있으므로, 모선을 기준으로 식을 세우면 된다.

정식 정의는 다음과 같다. 전력계통을 n개의 모선으로 보고, 모선 i에 주입되는 전류 I_i와 모선 전압 V_j의 관계를 [I] = [Y_{bus}][V]로 나타낸다. 여기서 [I]는 모선 주입 전류 벡터(A), [V]는 모선 전압 벡터(V), [Y_{bus}]는 n \times n 모선 어드미턴스 행렬(S)이다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

자기 어드미턴스는 대각 원소 Y_{ii}로, 모선 i에 연결된 모든 선로 어드미턴스의 합과 모선 i의 대지 어드미턴스를 더한 값이다. 모선 i에서 본 구동점 어드미턴스라고도 한다.

상호 어드미턴스는 비대각 원소 Y_{ij}로, 모선 i와 j 사이 선로 어드미턴스의 음수이다. 두 모선을 직접 잇는 선로가 없으면 0이 된다.

대칭성은 선로만으로 구성된 계통에서 Y_{ij} = Y_{ji}가 성립한다는 뜻이다. 위상 천이 변압기처럼 비대칭 요소가 있으면 행렬은 대칭이 아니라 에르미트(Hermitian) 행렬이 된다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 계통 해석은 망(메시) 전류를 기준으로 한 망 방정식을 사용했다. 그러나 계통 규모가 커지면 루프 수가 급증하여 미지수가 많아진다. 이에 비해 모선 수는 계통 규모에 비례하여 적으므로, 모선 방정식은 미지수 수를 크게 줄인다.

또한 모선 방정식은 계통 구성 변화를 반영하기 쉽다. 선로를 추가하거나 제거할 때 Y-bus의 해당 원소만 바꾸면 되므로 전력조류 계산과 고장 해석에서 반복 계산이 효율적으로 이루어진다.

행렬 구조 측면에서도 Y-bus는 장점이 있다. 대규모 계통에서는 멀리 떨어진 모선 사이에 직접 선로가 없어 대부분의 원소가 0이 된다. 이 희소성 덕분에 저장 공간과 연산량이 줄어든다. 반면 임피던스 행렬(Z-bus)은 멀리 떨어진 모선끼리도 큰 값을 가져 대부분 원소가 0이 아니므로, 계산이 더 어렵다.

이 때문에 실무에서는 Y-bus를 먼저 구성하고 필요할 때 역행렬로 Z-bus를 얻는다. 고장 전류 계산이나 Kron 축약 같은 해석에서도 Y-bus가 출발점이 된다.