중력모형

왜 배우는가: 중력모형은 통행분포 단계에서 가장 널리 쓰이는 모형이어서 교통수요예측 문제의 기본 도구다. 장래 OD표를 추정할 때 기준 틀로 쓰이며, 여러 차례 출제된 개념이다. 제약 방법에 따른 구분을 알아두면 개념·종류·한계 문항에 같은 틀로 답할 수 있다.

출제 이력: 제135회 4교시 6번, 제131회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의는 다음과 같다.

중력모형은 두 존 사이의 통행량을 발생·도착 통행량과 통행저항으로 추정하는 통행분포모형이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 중력모형(Gravity Model)
• 통행분포(Trip Distribution)
• 발생통행량(Trip Production)
• 도착통행량(Trip Attraction)
• 통행저항(Impedance)
• OD표(Origin-Destination Matrix)
• 이중제약(Doubly Constrained)
• 균형계수(Balancing Factor)

존(Zone)은 교통계획에서 공간을 나눈 분석 단위다. 발생 쪽 존은 통행을 만들어 내는 곳이고, 도착 쪽 존은 통행이 끝나는 곳이다. 이 여덟 개 용어는 2절과 6절에서 계속 쓰인다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 사람은 가까운 곳과 활동이 많은 곳으로 더 많이 이동한다. 이 성질을 식으로 옮긴 것이 중력모형이다. 뉴턴의 중력 법칙은 두 물체 사이의 힘이 질량의 곱에 비례하고 거리가 멀수록 줄어든다고 본다. 중력모형은 이 구조를 빌려 와서 질량 자리에 존의 활동량을, 거리 자리에 통행비용을 넣는다.

정식으로 정의하면 중력모형은 두 존 사이의 통행량을 발생 측 통행량, 도착 측 통행량, 통행저항의 곱으로 추정하는 통행분포모형이다. 기본식은 다음과 같다.

$T_{ij} = k \cdot P_i \cdot A_j \cdot f(c_{ij})$

기호의 뜻과 단위는 다음과 같다.

• T_{ij}: 존 i에서 존 j로 가는 통행량(통행/일)
• P_i: 존 i의 발생통행량(통행/일). 존 i에서 출발하는 통행의 총량이다.
• A_j: 존 j의 도착통행량(통행/일). 존 j로 도착하는 통행의 총량이다.
• c_{ij}: 존 i와 j 사이의 일반화비용. 통행시간과 통행요금 등을 하나의 값으로 합친 것이다.
• f(c_{ij}): 통행저항 함수. 비용이 커질수록 값이 작아진다.
• k: 지역 특성에 맞춰 정하는 비례상수다.

통행저항 함수는 거리가 멀수록 통행이 줄어드는 형태로 정한다. 대표 형태는 지수함수형과 거듭제곱형이다. 지수함수형은 f(c_{ij}) = e^{-\beta c_{ij}} 이고, 거듭제곱형은 f(c_{ij}) = c_{ij}^{-n} 이다. 여기서 \beta와 n은 실측 OD표로 정하는 매개변수다.

식의 해석은 간단하다. 발생과 도착 통행량이 크면 통행량이 늘고, 비용이 크면 통행량이 준다. 통행저항이 커질수록 두 존 사이의 통행량은 줄어든다. 이 원리는 통행이 가까운 존끼리 많이 일어나는 현상을 설명한다. 식만으로는 관측값과 맞지 않으므로 k, \beta, n 같은 매개변수를 실측에 맞게 보정한다.

발생통행량과 도착통행량은 통행발생모형에서 먼저 추정된다. 그래서 중력모형은 통행발생 결과를 입력으로 받아 통행을 존 사이에 나누는 역할을 맡는다. 제약 방법에 따른 식의 구분은 6절에서 다룬다.

3. 등장 배경과 필요성

교통계획은 보통 통행발생, 통행분포, 수단선택, 통행배정의 순서로 진행된다. 통행분포 단계는 발생한 통행이 어느 목적지로 갈지를 정하는 단계이며, 그 결과가 OD표로 정리된다.

OD표를 정확히 얻으려면 전 지역에 걸친 기종점 조사가 필요하다. 그러나 장래 연도의 OD표는 조사할 수 없다. 조사 비용이 크고 시간도 오래 걸리기 때문이다. 그래서 현재 자료와 장래 활동 자료만으로 장래 통행분포를 추정하는 방법이 필요해졌고, 중력모형은 이 요구에 맞춰 발전했다.

미국 도로국(The Bureau of Public Roads)은 도시권 교통계획에 중력모형을 적용하였다. 이후 이 모형은 여러 도시권 계획에서 쓰이는 대표적인 통행분포 방법이 되었다. 중력모형은 공간 상호작용 이론의 대표 모형으로, 두 지점의 상호작용이 크기에 비례하고 거리에 반비례한다는 가정에서 출발한다.

필요성은 세 가지로 정리된다.

• 장래 개발계획의 영향을 반영할 수 있다. 거리저항을 바꾸면 교통체계나 지역 특성이 바뀔 때 통행량이 어떻게 변하는지 예측할 수 있다.
• 조사 부담이 작다. 완전한 OD표가 없어도 되므로 전 지역을 조사하지 않아도 된다.
• 대규모 토지이용계획 지역에 적용할 수 있다. 활동량만 새로 넣으면 신규 개발지역의 통행 분포를 추정할 수 있다.

완전한 OD표 없이도 장래 통행분포를 추정할 수 있다는 점이 중력모형의 등장 배경이다.

중력모형은 실제 흐름을 정확히 맞히는 예측 모형이라기보다, 관측값과 비교하는 기준 척도로 쓰인다. 비교했을 때 흐름이 예상보다 많거나 적은 곳을 찾는 데 유용하다. 이 한계는 7절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

중력모형은 세 가지 구성요소로 이루어진다. 첫째는 존 i의 기점 발생량 O_i와 존 j의 도착량 D_j이다. 둘째는 두 존 사이의 통행저항 함수이며, 일반화비용 c_{ij}를 받아 저항 값 f(c_{ij})를 낸다. 셋째는 발생과 도착 제약을 맞추는 균형계수 A_i, B_j이다.

표의 앞 두 요소는 통행발생 단계에서 얻고, 뒤 두 요소는 분포 단계에서 새로 정한다. 저항 함수의 형태와 균형계수가 모형의 결과를 좌우한다.

두 존 사이의 거리 저항은 시간, 비용, 거리 중 무엇으로 표현해도 된다. 실무에서는 통행시간을 화폐 단위로 환산한 값과 통행요금을 더한 일반화비용을 쓰는 것이 일반적이다.

중력모형의 원리는 사람의 공간 이동이 뉴턴의 중력 법칙과 같은 꼴을 따른다는 가정이다. 두 존 사이의 통행량은 두 존의 크기에 비례하고, 두 존 사이의 저항에 반비례한다. 기본식은 다음과 같다.

$T_{ij} = A_i O_i B_j D_j f(c_{ij})$

기호의 뜻은 다음과 같다. T_{ij}는 존 i에서 존 j로 가는 통행 수다. c_{ij}는 두 존 사이의 일반화비용이다. A_i와 B_j는 무차원 균형계수다.

저항 함수는 보통 두 형태 중 하나를 쓴다. 거듭제곱형은 다음과 같다.

$f(c_{ij}) = c_{ij}^{-n}$

여기서 n은 거리 저항 지수다. 지수형은 다음과 같다.

$f(c_{ij}) = exp(-β c_{ij})$

여기서 β는 비용 민감도다. 두 형태 모두 비용이 커질수록 f 값이 작아진다.

발생 제약은 다음과 같다.

$Σ_j T_{ij} = O_i$

도착 제약은 다음과 같다.

$Σ_i T_{ij} = D_j$

두 제약을 모두 맞추는 모형을 이중제약 중력모형이라 한다. 한쪽 제약만 맞추면 단일제약 모형이다. 발생 제약만 맞추는 모형은 발생 제약 모형, 도착 제약만 맞추는 모형은 도착 제약(유인 제약) 모형이라 한다. 제약이 없는 모형은 비례상수 k로 T_{ij} = k O_i D_j f(c_{ij})를 계산한다.

균형계수는 다음 식으로 구한다.

$A_i = 1 / Σ_j (B_j D_j f(c_{ij}))$

$B_j = 1 / Σ_i (A_i O_i f(c_{ij}))$

두 식에서 A_i와 B_j가 서로를 포함하므로 한 번에 풀리지 않는다. 그래서 반복비례적합법(IPF, Iterative Proportional Fitting)으로 값을 수렴시킨다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 존별 O_i, D_j와 존 간 c_{ij}를 입력한다.
• 저항 함수의 형태와 n 또는 β 값을 정한다.
• 모든 A_i, B_j를 1로 놓고 시작한다.
• A_i를 계산해 발생 제약을 맞춘다.
• B_j를 계산해 도착 제약을 맞춘다.
• 제약 오차가 허용치 이내가 될 때까지 4~5단계를 반복한다.
• 수렴한 값으로 T_{ij}를 계산해 OD 행렬을 만든다.

균형계수 A_i는 존 i의 발생량이 모든 도착지로 빠짐없이 배분되도록 조정하는 값이다. B_j는 존 j의 도착량이 모든 출발지에서 빠짐없이 채워지도록 조정하는 값이다. 두 값이 함께 맞아야 행과 열의 합이 동시에 맞는다.

수렴 검사는 존마다 발생량과 도착량의 오차를 본다. 오차가 허용치 이하이면 계산을 멈춘다. 허용치는 분석자가 정하며, 값을 작게 잡을수록 반복 횟수가 늘어난다.

이중제약 중력모형은 발생량과 도착량을 동시에 재현한다.

수렴한 결과 행렬은 행의 합이 O_i, 열의 합이 D_j와 같다. 이 조건이 맞아야 OD 행렬로 쓸 수 있다.

중력모형은 실제 흐름을 정확히 예측하는 도구가 아니다. 관측된 통행량과 비교해 어느 지점의 흐름이 예상보다 크거나 작은지 드러내는 기준선으로 쓰인다.

5. 관련 법령·기준·표준

중력모형 자체를 정한 법정 기준값은 없다. 아래 값은 교통수요예측 교재와 실무에서 널리 쓰는 관행값이며, 대상 지역의 자료로 보정해 쓴다. 중력모형은 계획 기준이 아니라 분석 도구이므로, 값을 쓸 때 적용 조건을 함께 적는다.

거리 저항 지수 n은 약 2 안팎의 값을 흔히 쓴다. 두 함수는 같은 자료에서도 다른 값을 낸다. 그래서 함수를 고른 뒤 자료로 지수를 보정하고, 보정 근거를 보고서에 남긴다.

거듭제곱형은 식이 간단해 보정이 쉽다. 지수형은 비용이 늘면 저항이 빠르게 커지는 구조라 장거리 통행을 억제하는 효과를 설명하기 쉽다.

저항 지수는 실제 통행 거리 분포 곡선과 모형의 곡선이 맞도록 조정한다. 이 과정을 캘리브레이션(calibration)이라 한다. 보정 결과의 적합도 지표를 함께 적어야 모형의 신뢰도를 판단할 수 있다.

보정에는 존 간 실측 통행 자료가 필요하다. 실측 자료가 없으면 다른 지역의 조사값을 옮겨 쓰며, 이때 지역 차이를 명시한다.

미국 등 외국의 교통계획 실무에서도 중력모형을 쓰지만, 저항 함수와 보정 절차는 기관마다 다르다. 외국 값을 그대로 옮기지 않고 개념 차이만 구분해 쓴다.

중력모형은 초기 교통계획 연구에서 정립되어 교재에 실렸다. 이후 저항 함수 형태와 균형계수 계산법이 함께 발전했다.

6. 유형과 비교

중력모형은 제약 조건을 어떻게 두느냐에 따라 네 가지 형태로 나뉜다. 제약이 없는 형태, 생산량만 맞추는 형태, 유인량만 맞추는 형태, 둘을 모두 맞추는 형태다. 제약이 달라지면 균형계수의 개수와 계산 방식도 함께 달라진다.

제약 없는 중력모형은 발생량 O_i, 유인량 D_j, 통행비용 c_{ij}만으로 통행량을 추정한다. 식은 T_{ij}=K O_i D_j f(c_{ij})이며, K는 전체 통행량을 맞추는 상수다. 여기서 f는 통행비용이 커질수록 통행을 줄이는 거리 감쇠 함수다. 이 형태는 존별 합계가 실제 값과 맞지 않는다는 한계가 있다.