통행비용함수와 교통류모형

왜 배우는가: 통행배정 결과는 통행비용함수의 형태와 보정 값에 따라 크게 달라진다. 교통수요예측 4단계에서 혼잡을 반영하는 핵심 입력이므로 개념, 속성, 구성요소를 함께 묻는 문항으로 자주 나온다.

출제 이력: 제125회 2교시 2번, 제108회 2교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

통행비용함수는 링크의 교통량이 늘어날수록 링크 통행비용(통행시간)이 증가하는 관계를 나타내는 함수이다.

이 정의는 답안 첫 줄에 그대로 옮겨 쓴다. 통행비용함수는 통행배정모형의 입력이며, 교통량과 통행비용의 관계를 한 식으로 나타낸다는 점이 답안의 핵심이다. 혼잡이 배정 결과에 어떻게 반영되는지를 설명할 때 이 함수가 근거가 된다.

아래 키워드는 용어 풀이와 함께 익혀 두면 2교시 논술에서 구성 항목을 빠짐없이 쓸 수 있다.

• 통행비용함수(Volume Delay Function, VDF)
• 링크 교통량
• 자유통행시간
• 용량
• 포화도
• BPR 함수
• 통행배정
• 교통류 기본도

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 도로에 차가 많아질수록 같은 구간을 지나가는 데 걸리는 시간이 길어진다. 통행비용함수는 이 현상을 교통량과 통행시간 사이의 관계식으로 옮긴 것이다. 차가 적을 때는 시간이 거의 늘지 않다가, 도로가 가득 차 가까워지면 시간이 급격히 늘어난다.

정식으로 정의하면, 통행비용함수는 링크 교통량 v에 따라 링크 통행비용 t(v)를 산출하는 함수이다. 링크 통행비용은 보통 통행시간으로 나타내며, 통행배정모형이 각 링크의 저항을 계산할 때 사용한다. 통행시간 외에 요금을 시간으로 환산해 더하기도 하지만, 이 절은 통행시간을 기준으로 설명한다.

핵심 용어는 다음과 같이 풀이한다.

• 자유통행시간: 교통량이 거의 없어 혼잡이 없을 때 링크를 통과하는 시간(t_0)이다.
• 용량: 단위 시간에 링크가 처리할 수 있는 최대 교통량(c)이다.
• 포화도: 교통량과 용량의 비(v/c)로, 혼잡 정도를 나타내는 무차원 값이다.

대표적인 식은 미국 공공도로국(BPR)이 제시한 BPR 함수이다.

$t(v)=t_0[1+α(v/c)^β]$

여기서 괄호 안의 1은 자유통행시간에 해당하고, 뒤쪽 항은 교통량 증가로 생기는 추가 지체를 나타낸다. 여기서 t_0는 자유통행시간(분), v는 링크 교통량(대/시), c는 용량(대/시)이고, α와 β는 보정 계수이다. 표준값은 α=0.15, β=4로 널리 쓰인다. 이 식에서 v=c이면 통행시간은 자유통행시간의 (1+α)배가 된다. 즉 포화도가 1일 때 통행시간이 15% 늘어난다. 지수 β가 클수록 포화도가 낮은 구간에서는 증가가 완만하고, 1 근처에서 급격해진다.

통행비용함수는 다음 네 가지 속성을 가진다.

• 교통량이 0이면 통행시간은 자유통행시간과 같다.
• 교통량이 늘면 통행시간은 단조 증가하며 줄지 않는다.
• 포화도가 1에 가까워질수록 통행시간 증가 폭이 급격해진다.
• 비선형 함수이며, 함수 형태와 계수는 대상 지역의 실측 자료로 보정한다.

이 속성 가운데 3번이 혼잡 해석의 출발점이다. 같은 교통량 증가라도 여유가 많은 도로에서는 시간이 조금 늘고, 용량에 가까운 도로에서는 크게 늘기 때문에 배정 결과에서 교통량이 특정 경로에 몰리지 않고 분산되는 효과가 생긴다.

함수 형태는 BPR 함수 외에도 CATS 함수 등 여러 가지가 있다. 형태마다 포화도가 1을 넘는 구간의 표현이 달라 결과 차이가 생기므로, 실무에서는 함수를 고르고 실측 통행시간으로 계수를 맞추는 보정 절차를 거친다. 보정은 링크별 교통량과 통행시간 자료를 놓고 비선형 회귀나 최소제곱법으로 계수를 추정하는 방식이 일반적이다.

3. 등장 배경과 필요성

All-or-Nothing 배정은 링크 용량을 고려하지 않고 기종점 통행을 최소비용경로 하나에 전부 부하한다. 실제 도로에서는 한 경로에 교통이 몰리면 속도가 떨어져 통행비용이 달라지므로, 이를 반영하지 못하면 배정 결과가 현실과 크게 어긋난다. 단순 최단경로 탐색만으로는 혼잡 효과를 설명할 수 없다.

이 한계를 보완하기 위해 배정된 교통량으로 통행비용을 다시 계산하고 배정을 반복하는 방법이 등장했다. 반복배분법과 용량제약 배정이 대표적이며, 이 과정에서 링크 교통량과 통행비용을 잇는 함수가 필수 입력이 된다. 통행비용함수가 없으면 용량 제약을 배정 계산에 넣을 방법이 없다.

4단계 수요예측은 통행발생, 통행분포, 수단선택, 통행배정 순으로 진행된다. 통행비용함수는 그중 마지막인 통행배정 단계에서 혼잡을 반영하는 장치다. 같은 수요라도 함수 형태와 보정 값에 따라 경로 선택 결과와 링크 교통량이 달라진다. 따라서 함수의 선택과 보정은 예측 정확도를 좌우하는 핵심 작업이다.

교통량이 용량에 가까워지면 통행시간이 급증하므로, 함수는 이 혼잡 구간을 정확히 표현해야 한다. 도로 확장이나 신호 개선의 효과를 추정할 때도 같은 함수가 쓰이므로, 정책 평가의 근거로도 필요하다. 시험에서도 개념, 속성, 구성요소를 함께 묻는 경우가 많아 이 세 가지를 한 흐름으로 정리해 두는 것이 좋다.

4. 구성요소·원리·절차

통행비용함수는 링크의 교통량이 늘어날 때 링크 통행시간이 얼마나 늘어나는지를 나타낸다. 교통량이 용량에 가까워지면 통행시간은 비례해서가 아니라 급격히 증가한다. 통행배정 모형은 이 함수로 링크 통행비용을 갱신하면서 교통량을 다시 배분한다.

구성요소는 다음과 같다.

자유통행시간과 용량은 링크의 속성이고, 교통량은 배정 과정에서 바뀌는 변수다. 보정계수는 함수의 모양을 정하므로 교정 결과에 따라 같은 교통량에서도 통행시간이 달라진다.

가장 널리 쓰는 함수는 미국 공공도로국이 제안한 BPR 함수다. 식은 다음과 같다.

$t = t_0\left[1 + \alpha\left(\frac{q}{c}\right)^{\beta}\right]$

t는 혼잡 상태의 링크 통행시간(분), t0는 자유통행시간(분), q는 링크 교통량(대/시), c는 링크 용량(대/시)이다. α와 β는 혼잡 증가 폭과 곡선의 기울기를 정하는 보정계수다. 표준 BPR 함수에서는 α=0.15, β=4를 쓴다.

이 식은 두 가지 기본 성질을 가진다. 교통량이 0이면 t는 t0가 된다. 교통량이 용량과 같으면 t는 (1+α)배, 즉 자유통행시간의 1.15배가 된다. 교통량이 용량을 넘으면 β 승항 때문에 통행시간이 가파르게 늘어난다. 통행비용함수의 형태는 CATS 등 다른 함수로도 쓰이지만, 두 함수의 배정 결과 차이는 작다는 보고가 있다.

통행비용함수는 교통류모형과 이어진다. 통행시간은 거리를 속도로 나눈 값이므로, 교통류모형의 속도를 통행비용으로 바꾼 것이 통행비용함수다. 속도와 밀도의 관계를 선형으로 가정한 Greenshields 모형은 다음과 같다.

$v = v_f\left(1 - \frac{k}{k_j}\right)$

v는 속도(km/h), v_f는 자유속도(km/h), k는 밀도(대/km), k_j는 혼잡밀도(대/km)다. 밀도가 0이면 속도는 자유속도이고, 밀도가 혼잡밀도에 이르면 속도는 0에 가까워진다. 이 속도로 링크 통행시간 t = L/v를 구하면 밀도가 커질수록 통행시간이 늘어난다는 방향이 통행비용함수와 같다.

통행배정에서 통행비용함수를 적용하는 절차는 다음과 같다.

• 링크별 자유통행시간 t0와 용량 c를 입력한다.
• 현재 통행비용 기준의 최단경로에 기종점 교통량을 전량 부하한다.
• 부하된 교통량 q를 함수에 넣어 링크 통행시간 t를 구한다.
• 갱신된 통행시간으로 교통량 변화를 확인하고 허용오차 이내이면 종료한다.
• 허용오차를 넘으면 2단계로 돌아가 배정을 반복한다.

이 절차가 반복배분법이다. 링크 용량을 고려하므로 단순용량제약법이라고도 부른다. 배정 과정에서는 All-or-Nothing 배분과 통행비용 산정을 반복하고, 배분된 교통량의 평균값을 최종 결과로 본다. 예제는 3회 반복(n=4)으로 배정한다.

반복배분법의 한계는 All-or-Nothing 배분이 기종점 교통량 전부를 한 경로에 몰아준다는 점이다. 반복으로 통행비용을 갱신하면 이 편향이 완화되지만, 수렴 조건과 반복 횟수에 따라 결과가 달라질 수 있다.

5. 관련 법령·기준·표준

통행비용함수는 법령이 정한 식이 아니다. 도로 계획과 교통영향평가 실무에서 쓰는 값은 도로용량편람 같은 설계 기준의 용량과 연구에서 교정한 보정계수다. 답안에는 개별 수치를 외우기보다 계수의 의미와 교정 절차를 쓰는 것이 중요하다.

도로용량편람의 값은 도로 구간 유형과 차로 수에 따라 달라지므로, 답안에는 값 대신 적용 기준의 이름을 쓴다. 기준값은 다음 표와 같다.

표의 α와 β는 표준 함수에서 쓰는 기본값이다. 지역 도로 조건에 맞춰 교정하면 값이 달라지므로, 기본값을 모든 도로에 그대로 적용하는 것은 정확하지 않다.

보정계수 교정은 현지 교통량과 실측 통행시간 자료로 α, β, c를 추정하는 절차다. 최근 학술 연구는 링크별 실측 자료를 모은 뒤 이상치를 시각적으로 걸러내고, 비선형 최적화로 계수를 추정하는 방식을 제시한다. 이 과정에서 적합도가 좋은 함수 형식을 고른다.

함수 형식과 용량 개념은 나라마다 다르다. 외국 설계 기준의 용량 개념은 국내 편람과 산정 방식이 다르므로, 답안에는 이름과 개념의 차이만 구분해 쓴다.

국내 용량 기준은 편람 개정에 따라 값이 바뀔 수 있다. 따라서 답안에서는 기준의 이름과 적용 조건을 함께 쓰고, 세부 값은 해당 편람의 현행 개정본을 따른다는 원칙을 세운다.