통행배정모형

왜 배우는가: 통행배정은 신설·확장 도로의 교통량과 혼잡을 예측하는 교통계획의 핵심 단계다. 워드롭 원리와 링크 통행시간 함수를 알아야 배정 결과를 해석할 수 있다.

출제 이력: 제126회 2교시 1번, 제93회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

통행배정은 기종점 통행량을 교통망 경로에 배분해 링크 교통량을 구하는 과정이다.

통행배정은 4단계 교통수요추정의 마지막 단계다. 통행발생, 통행분포, 수단선택을 거쳐 얻은 기종점(O/D) 통행표를 도로망의 경로와 링크에 할당한다. 할당 결과로 링크별 교통량과 통행시간이 나온다.

핵심 키워드

• 통행배정(Traffic Assignment): 기종점 통행량을 경로에 배분하는 작업
• 워드롭 원리(Wardrop's Principles): 이용자 평형과 체계 최적을 정의한 두 원리
• 이용자 평형(User Equilibrium, UE): 각 이용자가 최소 통행시간 경로를 고른 상태
• 체계 최적(System Optimum, SO): 전체 통행시간의 합이 최소인 배분 상태
• 링크 통행시간 함수: 교통량에 따라 링크 통행시간이 변하는 관계식
• BPR 함수(Bureau of Public Roads function): 혼잡을 반영하는 대표적 링크 통행시간 함수
• 결정론적·확률론적 모형: 경로 비용을 확정값으로 보는지 확률로 보는지에 따른 구분
• 최소경로: 두 존 사이에서 통행비용이 가장 작은 경로

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 도로에 차가 많아지면 길이 막혀 같은 길을 가도 걸리는 시간이 늘어난다. 운전자는 빠른 길을 골라 가고, 그 선택이 모여 링크별 교통량이 정해진다. 통행배정은 이런 선택 결과를 수식으로 예측하는 모형이다.

정식으로는 기종점 통행량을 링크의 통행비용과 용량을 고려해 경로에 할당하고, 그 결과로 링크 교통량과 통행시간을 구하는 모형을 말한다. 두 존 사이에 대안 경로가 여럿 있을 때 통행량을 어떻게 나눌지가 핵심 문제다.

워드롭 원리는 이 배분 상태를 정의하는 두 가지 균형 원리다. 워드롭 제1원리는 이용자 평형, 제2원리는 체계 최적에 해당한다.

이용자 평형(User Equilibrium)은 각 이용자가 혼자 경로를 바꿔도 통행시간을 줄일 수 없는 상태다. 워드롭 제1원리에서는 사용되는 모든 경로의 통행시간이 같고 미사용 경로보다 길지 않다. 이용자가 스스로 최선의 경로를 고른 결과라는 뜻이다.

체계 최적(System Optimum)은 관리 주체가 모든 차량의 경로를 정한다고 가정할 때의 상태다. 워드롭 제2원리의 체계 최적 상태는 전체 통행시간의 합이 최소가 되는 상태다. 이때 한 기종점 쌍의 모든 사용 경로는 한계비용이 같아진다.

두 상태는 같은 수요를 두고도 배분 결과가 다르다. 이용자 평형은 개인 기준의 최적이고, 체계 최적은 사회 전체 기준의 최적이다. 따라서 이용자 평형의 전체 통행시간은 체계 최적보다 크거나 같다.

통행배정 결과는 가정에 따라 달라진다. 대표적 가정은 이용자가 교통 상황을 완전히 안다는 것, 이용자가 통행시간을 최소화하도록 합리적으로 행동한다는 것, 링크 통행시간이 교통량의 함수라는 것이다. 이 세 가정이 워드롭 원리의 바탕이다.

링크 통행시간은 교통량에 따라 변해야 혼잡을 반영한다. 가장 널리 쓰이는 BPR 함수는 다음과 같다.

$t_a = t_a^0 [1 + α (v_a / c_a)^β]$

• t_a: 링크 a의 통행시간
• t_a^0: 교통량이 없을 때의 자유통행시간
• v_a: 링크 a의 교통량(대/시)
• c_a: 링크 a의 용량(대/시)
• α, β: 보정 상수(단위 없음)

BPR 함수에서 α는 0.15, β는 4를 표준값으로 쓴다. v/c 비율이 커질수록 통행시간이 급증한다. 용량에 가까워질수록 작은 교통량 증가에도 지체가 크게 늘어난다.

결정론적 모형은 모든 이용자가 경로 비용을 정확히 안다고 가정한다. 확률론적 모형은 이용자가 인지하는 비용에 오차가 있다고 보고 경로 선택을 확률로 나타낸다. 두 모형의 구분 기준은 경로 비용을 확정값으로 보는지 확률 변수로 보는지에 있다.

3. 등장 배경과 필요성

도로를 신설하거나 넓히면 어느 링크에 교통이 몰리고 얼마나 막히는지 알아야 한다. 통행분포는 존 사이의 통행량만 알려 줄 뿐 그 통행이 어느 경로로 가는지는 알려 주지 않는다. 그래서 링크 교통량을 구하는 배정 단계가 따로 필요하다.

초기에는 최소비용 경로 하나에 모든 통행을 몰아주는 방식이 쓰였다. 이 방식은 링크 용량을 고려하지 않아 혼잡이 생긴 뒤의 통행시간을 반영하지 못한다. 이 한계를 보완하려고 통행시간이 교통량의 함수라는 가정을 넣게 됐다.

워드롭(John Glen Wardrop)은 영국 교통 분석가다. 워드롭은 1952년에 이 균형 원리를 발표했다. 이 원리는 이후 교통공학에서 통행배정 이론의 출발점이 됐다.

현재 통행배정은 혼잡 예측, 시설 투자의 경제성 분석, 교통영향평가의 기초 자료를 만드는 데 쓰인다. 가상의 예로, 기존 도로 옆에 우회로를 새로 만들면 기존 도로 교통량은 줄고 우회로 교통량은 늘어난다. 통행배정 모형은 이런 배분 변화를 링크별 수치로 보여 준다. 같은 기종점 통행표라도 배정 방법이 다르면 링크 교통량이 달라지므로 방법 선택이 계획 결과를 좌우한다.

4. 구성요소·원리·절차

통행배정은 기종점 통행량을 도로망의 경로에 나누는 작업이다. 네 구성요소의 입력과 출력이 차례로 이어진다.

표의 링크 통행비용함수가 교통량과 통행시간을 잇는다. 이 연결 때문에 배정 결과가 다시 통행비용을 바꾸는 상호 의존 구조가 된다.

통행배정의 기준 원리는 워드롭 원리다. 워드롭 원리는 두 가지 평형을 정한다. 첫째 평형을 이용자 평형이라 한다. 이용자 평형은 사용 경로의 통행시간이 같고 미사용 경로보다 짧거나 같은 상태다. 이용자 평형은 한 이용자가 일방적으로 경로를 바꿔도 자기 통행시간을 줄일 수 없는 상태이기도 하다.

기호로 쓰면 다음과 같다. $t_k = u_{rs} (f_k>0), t_k ≥ u_{rs} (f_k=0)$ t_k는 경로 k의 통행시간, u_{rs}는 기점 r과 종점 s 사이의 최소 통행시간, f_k는 경로 k의 교통량이다.

둘째 평형은 체계 최적(SO)이다. 체계 최적은 전체 통행시간의 합이 최소인 배정이다. 이용자가 아니라 시스템이 경로를 정한다고 가정한다. 목적 함수는 다음과 같다. $min TSTT = Σ_a v_a t_a(v_a)$ TSTT는 총 통행시간, v_a는 링크 a의 교통량, t_a는 링크 a의 통행시간이다. 같은 기종점 사이 경로들의 한계비용이 같아지는 것이 최적 조건이다. 한계비용은 통행 한 대를 더 보낼 때 늘어나는 전체 비용이다.

이용자 평형은 각 이용자의 최선을, 체계 최적은 사회 전체의 최선을 기준으로 한다. 두 해는 일반적으로 다르며, 체계 최적의 전체 통행시간이 평형보다 작거나 같다. 실무에서 도로 계획은 이용자 평형을 기본 모형으로 쓰고, 혼잡 통행료나 요금 정책을 검토할 때 체계 최적을 기준으로 쓴다.

통행배정의 계산 절차는 다음과 같다.

• 초기 링크 비용 설정: 자유통행시간을 초기 통행비용으로 놓는다.
• 최소경로 탐색: 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘으로 기종점별 최소비용 경로를 찾는다.
• 교통량 배분: 전량 배분(All-or-Nothing)으로 싣거나 비율로 나누어 경로에 싣는다.
• 통행시간 갱신: 배분된 교통량을 링크 통행비용함수에 넣어 통행시간을 다시 구한다.
• 수렴 판정: 교통량 변화가 기준 이내이면 끝내고, 아니면 2번으로 돌아간다.

전량 배분은 링크 용량을 무시하므로 교통량이 한 경로에 몰리는 문제가 있다. 그래서 2번부터 5번까지 반복하며 교통량을 나누어 싣고 비용을 갱신한다. 이 반복이 용량 제약을 반영하는 방법이다. 이용자 평형의 해는 Frank-Wolfe 알고리즘으로 구하는 경우가 많다. 이 알고리즘은 전량 배분 결과를 방향으로 삼아 현재 교통량과 가중 평균을 취하고, 가중치를 탐색하여 목적 함수를 줄인다.

링크 통행비용함수로는 BPR 함수를 가장 많이 쓴다. 식은 다음과 같다. $t_a = t_{0,a} [1 + α (v_a / c_a)^β]$ t_{0,a}는 자유통행시간, v_a는 교통량, c_a는 용량, α와 β는 계수다. BPR 함수는 v/c 비의 β제곱으로 혼잡을 반영한다. 교통량이 용량에 가까워질수록 통행시간이 급격히 늘어나는 곡선이 핵심이다.

5. 관련 법령·기준·표준

통행배정 결과는 도로 계획과 교통영향 검토에서 교통량 추정의 근거로 쓰인다. 기준 수치는 법령 조문보다 표준 모형의 식에서 나온다. 답안에는 조·별표 번호를 쓰지 않고 기준 이름만 쓴다.

v/c가 1이면 통행시간은 자유통행시간의 1.15배가 된다. 계산하면 10분 × 1.15 = 11.5분이다. 결과는 자유통행시간보다 15% 긴 값으로, 혼잡 상태의 상식 범위에 맞다.

α는 혼잡에 따른 증가 폭, β는 곡선의 기울기를 정한다. 답안에는 식의 형태와 두 계수의 의미를 함께 쓴다. 다른 링크 함수를 써도 결과 차이가 작은 경우가 있으므로, 함수 선택은 대상 도로망과 검증 자료에 맞춰 정한다.

이용자 평형은 경로 통행시간 조건을, 체계 최적은 총 통행시간 최소화 조건을 쓴다. 두 기준은 같은 네트워크에서 서로 다른 배정을 낳는다.