시간평균속도와 공간평균속도

왜 배우는가: 시간평균속도와 공간평균속도는 같은 교통류를 서로 다른 기준으로 잰 값이다. 두 속도를 구분하지 못하면 교통량, 밀도, 통행시간 분석이 모두 틀어지므로 실무와 시험에서 반복해서 다뤄진다.

출제 이력: 제134회 2교시 2번, 제95회 3교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

시간평균속도는 한 지점을 일정 시간 동안 통과한 차량들의 속도를 산술평균한 값이다. 공간평균속도는 일정 구간 안에 있는 차량들의 속도를 조화평균한 값이다.

두 값은 같은 교통류를 재는 기준이 다르다. 시간 기준은 지점에서, 공간 기준은 구간에서 속도를 모은다는 점이 핵심이다. 속도의 단위는 m/s 또는 km/h를 쓰며, 도로 교통 분야에서는 보통 km/h를 쓴다.

두 값의 가중치를 한 줄로 정리하면 다음과 같다. 시간평균속도는 통과한 차량 수가 기준이고, 공간평균속도는 구간 안에 머문 시간이 기준이다. 느린 차량은 구간 안에 더 오래 머무르므로 공간평균속도에 더 큰 비중으로 반영된다.

모든 차량의 속도가 같으면 두 값은 같아진다. 속도가 고르지 않을수록 두 값의 차이가 커진다. 이 성질 때문에 두 속도를 구분해서 답안에 써야 한다.

핵심 키워드

• 시간평균속도(Time Mean Speed)
• 공간평균속도(Space Mean Speed)
• 지점속도(Spot Speed)
• 산술평균
• 조화평균
• 속도 분산
• 교통류(Traffic Flow)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 도로의 속도를 재는 기준이 두 가지라는 뜻이다. 검지기를 한 위치에 세워 그 앞을 지나는 차량의 속도만 모으면 시간 기준이다. 한 순간에 일정 길이 도로 위 차량들의 속도를 모으면 공간 기준이다.

정식 정의로 보면 시간평균속도는 지점을 기준으로 일정 시간 동안 통과한 차량들의 지점속도를 산술평균한 값이다. 식은 다음과 같다.

$v_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} v_i$

여기서 n은 관측한 차량 수, v_i는 i번째 차량의 지점속도다. 단위는 속도 단위와 같다.

공간평균속도는 구간을 기준으로 정의한다. 한 순간에 길이 L인 구간 안에 있는 차량들의 속도를 조화평균한 값이며, 식은 다음과 같다.

$v_s = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{v_i}}$

이 식은 구간 길이를 구간 내 평균 통과시간으로 나눈 값과 같다. 즉 v_s = L/\bar{t}이고, \bar{t}는 차량들의 평균 통과시간(s)이다. 같은 거리를 가는 데 걸리는 시간이 거리를 속도로 나눈 값이므로 조화평균이 쓰인다.

가상의 예로 한 지점을 지나는 차량 세 대의 속도가 40km/h, 60km/h, 80km/h라고 하자. 시간평균속도는 (40+60+80)/3 = 60 km/h이다. 같은 세 차량을 공간 기준으로 계산하면 v_s = \frac{3}{\frac{1}{40}+\frac{1}{60}+\frac{1}{80}} \approx 55.4 km/h이다. 두 값이 다르며 시간평균속도가 더 크다.

표의 핵심은 기준과 계산 방식이다. 계산 방식이 다르므로 같은 자료라도 두 값이 달라진다.

핵심 용어 풀이

• 지점: 검지기처럼 도로의 한 위치를 뜻한다.
• 구간: 길이를 가진 도로의 범위를 뜻한다.
• 산술평균: 값을 모두 더한 뒤 개수로 나눈 평균이다.
• 조화평균: 값의 역수를 평균한 뒤 다시 역수를 취한 평균이다.

직관으로 보면 빠른 차량은 같은 시간에 더 많이 지점을 지나므로 시간 기준 자료에 더 많이 잡힌다. 느린 차량은 한 순간 구간 안에 더 오래 머무르므로 공간 기준 자료에 더 많이 잡힌다. 이 차이가 두 평균값을 다르게 만든다.

두 값의 차이는 속도가 고를수록 줄어든다. 자유 흐름처럼 차량들이 비슷한 속도로 달리면 두 값이 거의 같다. 혼잡하여 차량 속도가 제각각이면 두 값이 크게 벌어진다. 두 값의 관계를 정량으로 다루는 내용은 4절에서 다룬다.

3. 등장 배경과 필요성

도로 위 모든 차량의 속도를 하나씩 추적하는 것은 현실적으로 불가능하다. 그래서 일부 차량을 표본으로 관측해 평균을 구하는 방식을 쓴다. 평균을 어느 기준으로 내느냐에 따라 두 가지 속도가 생겼다.

측정 장비가 지점에서 자료를 얻는 경우가 많다는 점이 시간평균속도가 널리 쓰인 배경이다. 루프검지기와 레이더 검지기는 한 지점을 지나는 차량의 속도를 기록한다. 이 자료를 시간 축으로 평균하면 시간평균속도가 된다.

반면 교통류 이론은 공간평균속도를 기본으로 쓴다. 교통량 q(대/h), 밀도 k(대/km), 공간평균속도 v_s(km/h)의 기본 관계는 다음과 같다.

$q = k \cdot v_s$

이 식은 한 구간 안의 차량 상태를 설명하므로 구간 기준 속도가 맞다. 구간 통행시간을 추정하는 계획 업무에서도 공간 기준 평균이 필요하다. 반대로 검지기 한 대의 속도 추세를 볼 때는 시간 기준 평균이 쓰인다.

항공 촬영이나 여러 검지기 자료를 이어 붙여 구간 전체를 보는 조사는 공간 기준 자료에 가깝다. 같은 조사라도 자료를 어디서 얻었는지에 따라 어떤 평균인지가 정해진다.

신호 설계와 도로 용량 분석은 교통류 상태를 설명하는 값이 필요하다. 이때 어떤 속도를 쓰는지 밝히지 않으면 분석 결과를 서로 비교할 수 없다. 두 속도를 구분하지 않고 섞어 쓰면 신호 분석과 교통 계획의 결과가 달라진다. 두 속도의 차이가 생기는 원리는 4절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

교통류의 평균 속도는 같은 차량 흐름을 어디서 평균하느냐에 따라 두 가지로 나뉜다. 평균의 기준이 지점이면 시간평균속도가 되고, 구간이면 공간평균속도가 된다. 두 속도의 구성요소는 다음 표와 같다.

표에서 n은 관측한 차량 수, vi는 i번째 차량의 속도다. 시간평균은 관측 시간 동안 지점을 지난 차량 속도를 같은 비중으로 더한다. 공간평균은 속도의 역수를 평균하므로, 구간에 오래 머문 느린 차량의 영향이 커진다.

$v_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} v_i \qquad v_s = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{v_i}} = \frac{L}{\bar{t}}$

여기서 L은 구간 길이(m), t̄는 차량별 구간 통과시간의 평균(s)이다. 구간 길이를 평균 통과시간으로 나눈 값이 조화평균과 같아지는 점이 공간평균의 핵심이다.

집계 단위도 구성요소에서 중요하다. 시간평균은 관측 시간 길이, 공간평균은 구간 길이가 정해져야 계산된다. 두 값 모두 개별 차량 속도가 있어야 계산할 수 있으므로, 조사 자료가 개별 차량 단위인지 집계 평균인지 먼저 구분한다. 집계된 평균만 있으면 분산 항을 구할 수 없어 두 속도를 서로 환산하기 어렵다.

시간평균속도는 공간평균속도보다 작지 않다. 지점에서 단위 시간에 통과하는 차량은 속도가 빠를수록 많다. 그래서 지점 자료에는 빠른 차의 속도가 더 많이 반영되어 평균이 커진다. 반대로 구간 자료는 느린 차가 구간에 더 오래 머무르므로 역수 가중이 걸려 값이 작아진다.

두 속도의 관계는 다음 식으로 나타난다.

$v_t = v_s + \frac{\sigma_s^2}{v_s}$

σs²는 속도 분산이고 vs는 공간평균속도다. 우변 둘째 항은 분산이 커질수록 커지며 항상 0 이상이다. 그러므로 σs²=0 이면 같음이고, 분산이 0보다 크면 vt가 vs보다 커진다.

자유흐름에서는 차량 속도가 비슷하므로 분산이 작고 두 속도의 차이도 작다. 혼잡 흐름에서는 차량마다 속도 차이가 커져 분산이 커지고, 두 속도가 크게 벌어진다. 이 원리를 답안에 쓸 때는 흐름 상태와 분산을 함께 적는다.

절차는 다음과 같다.

• 조사 목적에 맞춰 지점(검지기 위치) 또는 구간(시점과 종점)을 정한다.
• 차량별 속도 또는 구간 통과시간을 수집한다.
• 지점 자료는 산술평균으로 시간평균속도를 구한다.
• 구간 자료는 L/t̄ 또는 조화평균으로 공간평균속도를 구한다.
• 속도 분산을 구해 관계식으로 두 값의 대소를 검산한다.

위 흐름도는 지점 자료와 구간 자료가 각각 어느 평균으로 이어지는지를 보인다.

5. 관련 법령·기준·표준

교통조사 실무에서 속도 조사의 방법과 자료 처리는 교통조사지침 등 기준이 정한다. 본 절에서는 조문 번호 없이 기준 이름만 제시한다. 두 속도의 기호(vt, vs)는 교통류 이론 교재와 기준서에서 같은 기호로 쓰이므로 답안에서도 같은 기호를 쓴다.

구간 단속에서 쓰는 구간 평균 주행속도는 구간 거리를 통과 시간으로 나눠 계산한다. 이는 공간평균속도의 정의인 구간 길이를 평균 통과시간으로 나누는 방식과 같은 원리다. 반면 지점 검지기가 집계한 값은 시간평균속도로 보아야 한다. 두 값을 바꿔 쓰면 혼잡 구간에서 속도를 과대평가하게 된다.

본문에서 쓴 기준 수치는 아래 표에 모았다.

단위 환산은 다음과 같이 계산한다.

$1\,\mathrm{m/s} = 1\,\mathrm{m/s} \times \frac{3600\,\mathrm{s}}{1\,\mathrm{h}} \times \frac{1\,\mathrm{km}}{1000\,\mathrm{m}} = 3.6\,\mathrm{km/h}$

시험 답안에서는 표의 세부 값을 나열하기보다 두 속도의 정의식, 대소 관계, 분산에 따른 차이 방향을 정확히 쓰는 것이 점수에 직결된다. 단위는 답안 본문에서 m/s와 km/h를 섞지 않고 문제 조건의 단위를 따른다.