베르누이 방정식

왜 배우는가: 베르누이 방정식은 배관과 덕트에서 압력, 유속, 높이 변화를 한 식으로 계산하는 출발점이다. 펌프 양정, 유량 측정, 수격 해석 같은 후속 개념이 이 식에서 출발한다. 시험에서는 식 작성, 물리적 의미, 적용 가정, 수평관 계산이 한 문항에 묶여 반복 출제된다.

출제 이력: 제138회 1교시 3번, 제130회 2교시 3번, 제118회 2교시 5번, 제111회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의

베르누이 방정식은 정상·비압축성·비점성 유동에서 한 유선을 따라 압력, 속도, 위치에너지의 합이 일정함을 나타낸 에너지 보존 식이다.

핵심 키워드

• 베르누이 방정식
• 유선
• 압력수두
• 속도수두
• 위치수두
• 정상류
• 비압축성 유체
• 에너지 보존 법칙

정의 문장은 답안 첫 줄에 그대로 쓴다. 정의에 나오는 세 항(압력, 속도, 위치)과 세 조건(정상, 비압축성, 비점성)을 함께 적으면 정의 항목의 감점이 줄어든다. 키워드는 본론과 해설에서 같은 표기로 통일한다. 이 절에서 쓰는 기호는 다음 절의 식 기호와 일치시킨다. 베르누이 방정식은 한 개념이지만 물리량 세 가지가 함께 묶여 있으므로, 정의를 쓸 때 어떤 양이 어떤 항으로 바뀌는지 짝지어 두면 설명 문항에서도 바로 쓸 수 있다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 물이나 공기가 좁은 곳을 빠르게 지나면 그 자리의 압력이 낮아진다. 흐름이 빨라진 만큼 운동에너지가 늘어나고, 그 증가분은 압력이 줄어든 만큼 얻어진다. 정식으로는 유체가 가진 단위 무게당 에너지(전수두)가 한 유선 위에서 일정하다는 뜻이다.

정식 정의는 다음과 같다. 정상·비압축성·비점성 유동 에서 한 유선을 따라 아래 식이 성립한다.

$\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z=\text{const}$

기호의 뜻은 다음과 같다. p는 정압(Pa), ρ는 밀도(kg/m³, 물은 1000kg/m³), g는 중력가속도(9.81m/s²), v는 유속(m/s), z는 기준면으로부터의 높이(m)다. 각 항의 단위는 모두 m(유체 기둥 높이)이다.

식의 세 항은 각각 압력수두, 속도수두, 위치수두라고 부른다. 압력수두 p/ρg는 압력 에너지를 물기둥 높이로 환산한 값이다. 속도수두 v²/2g는 운동에너지를 같은 방식으로 환산한 값이다. 위치수두 z는 기준면에서의 높이이며 위치에너지를 나타낸다.

두 번째 형태는 양변에 ρg를 곱한 식이다. $p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g z=\text{const}$ 이 식은 단위가 압력(Pa)이다. 두 식은 같은 내용이며 계산 단위에 따라 골라 쓴다.

세 항은 모두 단위 무게당 에너지(수두)로 같은 차원이다. 한 항이 커지면 나머지 항 중 하나 이상이 줄어야 합이 유지된다. 그래서 관이 좁아져 속도가 커지면 압력이 떨어지고, 관이 높은 곳으로 올라가면 압력이 떨어진다.

식은 한 유선 위에서만 성립 한다. 서로 다른 유선끼리는 전수두 값이 다를 수 있다. 마찰 손실이 있거나 펌프·터빈처럼 외부에서 일을 주고받는 경우에는 손실수두나 펌프 양정 항을 더해야 한다. 마찰 손실은 Darcy-Weisbach식으로 따로 계산해 더한다.

3. 등장 배경과 필요성

베르누이 방정식은 1738년 다니엘 베르누이가 저서 《유체역학》(Hydrodynamica)에서 발표했다. 당시 유체의 운동을 에너지 관점에서 설명하려는 흐름 속에서 나온 결과다. 이후 에너지 보존 법칙이 정립되면서 유체 흐름의 기본 식으로 자리잡았다. 베르누이 방정식은 에너지 보존 법칙의 한 형태로 이해된다.