대수평균온도차

왜 배우는가: 대수평균온도차(LMTD)는 열교환기의 전열량을 계산하는 기본 구동온도차이며, 열교환기 설계와 성능 평가의 출발점이라 실무와 시험에서 반복해서 출제된다. 대향류·평행류의 차이를 이해해야 온도 분포 문제와 비교 문제를 함께 풀 수 있다.

출제 이력: 제137회 1교시 3번, 제123회 1교시 9번, 제102회 1교시 1번, 제99회 1교시 11번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 대수평균온도차(LMTD)는 열교환기 양 끝단의 온도차를 로그 평균한 값으로, 전열량 Q = UA\,\Delta T_{lm} 계산에 쓰는 구동온도차이다.

• 대수평균온도차(LMTD)
• 열교환기 양 끝단 온도차
• 대향류(counterflow)
• 평행류(parallel flow)
• 총괄열전달계수 U
• 전열면적 A
• 열교환기 전열량 Q
• NTU법

2. 개념 풀이

쉬운 말로 말하면, 열교환기 안에서 뜨거운 유체와 차가운 유체의 온도차가 입구에서 출구까지 일정하지 않고 변한다. 그래서 산술평균을 쓰면 실제 전열량과 맞지 않는다. 이 변하는 온도차를 하나의 대표값으로 나타낸 것이 대수평균온도차다.

정식 정의는 다음과 같다. 열교환기의 한쪽 끝(A)에서 두 유체의 온도차를 \Delta T_A, 다른 쪽 끝(B)에서 온도차를 \Delta T_B라고 하면

$\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{\ln(\Delta T_A / \Delta T_B)}$

이다. 여기서 \Delta T_{lm}은 대수평균온도차(℃ 또는 K), \Delta T_A, \Delta T_B는 각 끝단에서의 온도차(℃ 또는 K)다. 두 온도차가 같으면 식이 0/0 꼴이 되므로, 극한값인 \Delta T_A(또는 \Delta T_B)를 LMTD로 취한다.

이 값을 쓰면 전열량은 다음과 같이 구한다.

$Q = U A \Delta T_{lm}$

여기서 Q는 전열량(W), U는 총괄열전달계수(W/(㎡·K)), A는 전열면적(㎡)이다. 총괄열전달계수 U의 산정은 복잡할 수 있으므로 별도 계산이 필요하다.

이 식은 대향류와 평행류 모두에 같은 형태로 적용된다. 다만 두 온도차 \Delta T_A, \Delta T_B를 어느 끝단에서 잡느냐가 유동 방식에 따라 달라진다. 대향류에서는 고온 유체 입구와 저온 유체 출구 쪽을 한 끝단, 고온 유체 출구와 저온 유체 입구 쪽을 다른 끝단으로 잡는다. 평행류에서는 두 유체의 입구 끝단이 한 쪽이 된다.

3. 등장 배경과 필요성

열교환기에서 유체의 온도는 전열면을 따라 연속적으로 변한다. 전열량을 구하려면 전열면 전체에 걸쳐 적분해야 하지만, 실무에서는 입출구 온도만 알면 되는 간단한 식이 필요했다. 이때 온도차 분포를 지수 함수로 적분해 얻은 결과가 대수평균이다.

산술평균온도차를 쓰면 대향류의 실제 전열량을 과소평가하거나 과대평가한다. 두 끝단 온도차의 비가 2 이하일 때는 산술평균과 대수평균의 차이가 작아 근사로 쓰기도 한다. 그러나 온도차 비가 커지면 오차가 커지므로 대수평균을 쓰는 것이 원칙이다.

입출구 온도를 알 수 없는 경우에는 LMTD 대신 NTU법을 쓴다. 따라서 LMTD법은 입출구 온도가 주어지거나 에너지 수지로 구할 수 있을 때 적합한 방법이다.