정압비열과 정적비열

왜 배우는가: 정압비열과 정적비열은 기체 사이클, 냉동사이클의 압축·가열 과정에서 열량과 내부에너지 변화를 계산하는 출발점이다. 두 비열의 차이가 팽창일에서 나온다는 원리를 알아야 과정 조건에 따른 열 계산을 바르게 할 수 있다. 1교시 용어 문제와 2~4교시 기체 과정 문제에서 반복해서 나온다.

출제 이력: 제138회 1교시 2번, 제116회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

정압비열은 압력을 일정하게 유지하며 단위 질량의 물질 온도를 1K 올리는 데 필요한 열량이고, 정적비열은 부피를 일정하게 유지하며 같은 온도 상승에 필요한 열량이다.

• 정압비열(Cp)
• 정적비열(Cv)
• 비열비(k)
• 단위 질량
• 팽창일
• 이상기체
• 마이어 관계식
• 내부에너지

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 같은 물질을 같은 온도만큼 올려도, 가열하는 동안 물질을 어떻게 가두어 두느냐에 따라 필요한 열이 달라진다. 고체와 액체는 부피 변화가 작아 이 차이가 거의 없지만, 기체는 가열되면 크게 팽창하므로 차이가 뚜렷하다.

정식 정의는 다음과 같다. 정압비열은 압력이 일정한 조건에서 단위 질량당 온도를 1K 올리는 데 필요한 열량이다. 정적비열은 부피가 일정한 조건에서 같은 온도 상승에 필요한 열량이다. 두 값은 열역학 제1법칙으로 유도된다.

정적 과정에서는 외부에 한 일이 없으므로 가해진 열이 모두 내부에너지 증가로 간다. 따라서 $c_v = \left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_v$ 이다. 여기서 u는 단위 질량당 내부에너지(kJ/kg), T는 절대온도(K), v는 비체적(m³/kg)이다.

정압 과정에서는 엔탈피 h = u + Pv 의 변화가 가해진 열과 같다. 따라서 $c_p = \left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_p$ 이다. 여기서 h는 비엔탈피(kJ/kg), P는 압력(kPa)이다.

이상기체에서 Pv = RT 를 대입하면 $c_p - c_v = R$ 이 된다. 여기서 R은 기체상수(kJ/(kg·K)), 몰기준으로는 \bar{R} = 8.314 J/(mol·K) 이다. 이 관계를 마이어 관계식이라 한다.

비열비는 두 비열의 비 k = c_p / c_v 이며 단열과정의 압력·부피 관계를 정하는 지수다. 공기는 상온에서 k \approx 1.4 이다. 단원자 기체는 k = 5/3, 이원자 기체는 k = 7/5 로 분자 자유도에 따라 달라진다.

정압비열이 정적비열보다 큰 이유는 팽창일이다. 정압 과정에서 가해진 열의 일부는 내부에너지를 올리고, 나머지는 피스톤을 밀어 올리는 일로 쓰인다. 정적 과정에서는 이 일이 없으므로 온도를 같게 올리는 데 열이 덜 든다. 따라서 c_p > c_v 이다.

3. 등장 배경과 필요성

열역학에서 물질마다 열을 저장하는 능력이 다르다. 같은 질량을 같은 온도로 올리는 데 필요한 열이 물질에 따라 크게 다르기 때문에, 이를 비교할 물리량이 필요해졌다. 교육용 자료의 예로 1kg의 철을 20°C에서 30°C로 올리는 데 약 4.5kJ가 필요하지만, 같은 조건의 물은 약 41.8kJ가 필요하다. 이 값이 비열이다.

기체는 가열 방식에 따라 열이 달라지므로 두 비열을 나누어 정의할 필요가 생겼다. 엔진의 오토·디젤·브레이튼 사이클은 정적 또는 정압 과정이 번갈아 나온다. 냉동기의 압축기 해석에서도 과정마다 열과 일을 따로 계산해야 한다. 이때 과정 조건에 맞는 비열을 골라 쓰지 않으면 열량이 틀린다.

정압 과정의 열량은 $q_p = c_p \Delta T, 정적 과정의 열량은 q_v = c_v \Delta T$ 로 계산한다. 공기 1kg을 300K에서 400K로 정압 가열하면 q_p = 1.005 \times 100 = 100.5 kJ 이다. 정적 가열이면 q_v = 0.718 \times 100 = 71.8 kJ 이다. 두 값의 차이 28.7kJ가 팽창일에 해당한다.

또 이상기체의 내부에너지는 온도만의 함수 u = u(T) 이므로 과정에 상관없이 \Delta u = c_v \Delta T 를 쓸 수 있다. 이 성질 덕분에 사이클 전체의 내부에너지 변화를 쉽게 구할 수 있다. 고체와 액체는 c_p \approx c_v 로 보고 정압비열을 그 물질의 비열로 쓴다. 물의 정압비열은 약 4.18kJ/(kg·K) 이다.

4. 구성요소·원리·절차

정압비열과 정적비열은 가열 중 계의 체적 변화 여부로 구분된다. 두 값의 차이는 기체에서 가장 크게 나타나며, 그 차이가 팽창일로 설명된다. 열역학 제1법칙을 각 과정에 적용하면 원리가 드러난다.

위 표에서 정압 과정은 체적이 늘어나므로 외부에 일을 한다. 그 일만큼 열이 더 필요하다. 따라서 정압비열이 정적비열보다 크다.

• 원리 1: 정적 과정에서는 가열 열량이 모두 내부에너지(온도) 상승에 쓰인다.
• 원리 2: 정압 과정에서는 열량의 일부가 팽창일(p\,dv)로 빠져나간다.
• 원리 3: 이상기체에서는 엔탈피 h = u + pv = u + RT 이므로 c_p - c_v = R 이 성립한다.

정압비열은 팽창일만큼 정적비열보다 항상 크다

비열비는 다음과 같이 정의한다.

$k = \frac{c_p}{c_v}$

여기서 c_p는 정압비열(kJ/kg·K), c_v는 정적비열(kJ/kg·K)이다. 이상기체에서는 c_v = \dfrac{R}{k-1}, c_p = \dfrac{kR}{k-1} 로 쓸 수 있다.

단열과정 절차를 정리하면 다음과 같다.

• 계를 단열 조건(\delta q = 0)으로 둔다.
• 제1법칙 0 = du + p\,dv 에 이상기체 du = c_v\,dT 를 대입한다.
• 상태식 pv = RT 와 c_p - c_v = R 을 이용해 pv^k = 일정 관계를 얻는다.

단열과정의 핵심 관계는 다음과 같다.

$pv^k = \text{일정}, \qquad T v^{k-1} = \text{일정}$

도식으로 열 분배 흐름을 나타낸다.

5. 관련 법령·기준·표준

정압비열과 정적비열은 열역학 기본량이며, 법령이나 설계 기준으로 값을 정하는 개념이 아니다. 다만 공조냉동 설계에서는 냉매와 공기의 비열비를 계산에 쓴다. 기준값은 다음 표에 모았다.

표의 값은 일반적인 열역학 교재의 이상기체 기준값이다. 실제 기체는 온도와 압력에 따라 값이 다르다. 고체와 액체는 c_p - c_v 가 작아 정압비열을 그 물질의 비열로 쓴다.

• 이상기체 관계: c_p - c_v = R, 여기서 공기의 기체상수 R = 0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
• 비열비 정의: k = c_p / c_v
• 단위: 비열은 kJ/(kg·K) 또는 kJ/(kmol·K)로 쓰고, 몰비열 기준이면 \bar{R} = 8.314\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)} 를 쓴다.