열전달 무차원수

왜 배우는가: 열전달 무차원수(Nu, Pr, Re, Gr, Bi 등)는 실험 결과를 일반화하는 상관식의 기본 변수이므로 공조냉동 열교환기·응축기·증발기 설계 계산에서 매번 쓰인다. 1교시 용어 문제와 2~4교시 논술 문제에서 반복 출제되어 정의와 관계식을 정확히 구분해 두어야 한다.

출제 이력: 제133회 1교시 1번, 제130회 2교시 1번, 제117회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 열전달 무차원수는 대류·전도 현상의 물리량들을 길이·속도·열확산 등으로 묶어 차원을 없앤 무차원 군으로, 실험 자료를 상관식으로 일반화하는 데 쓰는 값이다.

핵심 키워드

• 누셀트수(Nusselt number, Nu)
• 프란틀수(Prandtl number, Pr)
• 레이놀즈수(Reynolds number, Re)
• 그라쇼프수(Grashof number, Gr)
• 비오트수(Biot number, Bi)
• 레일리수(Rayleigh number, Ra)
• 무차원 상관식(dimensionless correlation)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 열전달 문제는 유체 종류, 속도, 관 지름, 온도차가 모두 얽혀 있어 식 하나로 묶기 어렵다. 차원해석으로 이 변수들을 서로 곱하고 나눠 차원이 없는 수로 만들면, 값 몇 개만으로 전혀 다른 조건의 실험 결과를 비교할 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 누셀트수는 대류 열전달 계수 h를 유체의 열전도율 k로 무차원화한 값이며, 대표 길이를 L로 두면 $Nu = \frac{hL}{k}$ 이다. 여기서 h는 열전달계수(W/(m²·K)), L은 대표 길이(m), k는 유체 열전도율(W/(m·K))이다. 누셀트수는 대류가 전도에 비해 얼마나 강한지를 나타낸다. 값이 1에 가까우면 전도 지배, 값이 크면 대류가 열을 많이 옮긴다는 뜻이다.

프란틀수는 운동량 확산계수와 열확산계수의 비다. $Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mu c_p}{k}$ 로 쓰며, ν는 동점성계수(m²/s), α는 열확산계수(m²/s), μ는 동점성계수가 아닌 점성계수(Pa·s), c_p는 정압비열(J/(kg·K)), k는 열전도율(W/(m·K))이다. 프란틀수는 유체의 물성만으로 정해지며 길이나 유동 조건에 따라 변하지 않는다. 기체인 공기는 약 0.7 근처이고, 액체는 이보다 훨씬 크다.

레이놀즈수는 관성력과 점성력의 비로 $Re = \frac{\rho u L}{\mu} = \frac{uL}{\nu}$ 이다. ρ는 밀도(kg/m³), u는 유속(m/s)이다. 값이 크면 난류, 작으면 층류가 된다.

그라쇼프수는 부력과 점성력의 비로, 자연대류에서 쓴다. $Gr = \frac{g\beta\Delta T L^3}{\nu^2}$ 이며 g는 중력가속도(m/s²), β는 체적팽창계수(1/K), ΔT는 온도차(K)다. 레일리수는 Ra = Gr·Pr 이다.

비오트수는 고체 내부 전도저항과 표면 대류저항의 비다. $Bi = \frac{hL_c}{k_s}$ 이며 k_s는 고체의 열전도율이다. 누셀트수와 식의 모양은 비슷하지만 열전도율이 유체가 아닌 고체의 것이다. 이 차이를 혼동하면 감점된다.