무한장 직선도선 자계

왜 배우는가: 무한장 직선도선의 자계는 전자기 대칭 문제를 푸는 기본 모형이다. 송전선과 케이블 주변 자계, 평행 도선 사이 전자력 계산의 출발점이 되므로 실무에서 자주 쓰인다. 시험에서는 1교시 용어 문제로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제129회 1교시 2번, 제114회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 무한히 긴 직선 도선에 전류가 흐르면 도선을 축으로 하는 동심원 모양의 자계가 생기고, 세기는 암페어 주회적분법칙으로 구한다.

• 암페어 주회적분법칙(Ampère's circuital law)
• 자계의 세기(H)
• 자속밀도(B)
• 투자율(μ)
• 동심원 자계
• 우수법칙
• 대칭성
• 주회 경로

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 전선에 전류를 흘리면 전선 둘레에 자기의 힘이 생긴다. 그 힘의 세기를 재는 양이 자계의 세기다. 전선에서 멀어질수록 힘은 약해지고, 방향은 전선을 감싸는 원을 그린다.

정식 정의는 다음과 같다. 닫힌 경로를 한 바퀴 돌며 자계의 접선 성분을 적분한 값이, 그 경로가 감싸는 전류의 총합과 같다. 이 관계가 암페어 주회적분법칙이다.

$\oint H \cdot dl = I_{enc}$

여기서 H는 자계의 세기[AT/m], dl은 경로의 미소 길이[m], I_enc는 경로 안을 지나는 전류[A]다. 전류의 단위 A와 자계의 세기 단위 AT/m는 같은 차원으로 묶여 쓰인다.

자속밀도(B)는 자계가 매질 속에서 만드는 자속의 밀도다. 단위는 T(테슬라)다. H와 B는 투자율(μ)로 연결된다.

$B = \mu H$

여기서 μ는 매질의 투자율[H/m]이다. 진공에서는 μ0를 쓰며, 진공의 투자율은 μ0 = 4π×10^-7 H/m다. 공기 중 해석에서는 μ0와 μr이 같다고 본다.

무한장 직선도선의 경우 대칭성이 핵심이다. 전류가 한 방향으로 무한히 흐르므로 자계는 도선 축에 수직인 평면 안에서만 생긴다. 같은 반지름 r 위의 모든 점에서 자계의 크기가 같다. 그래서 주회 경로를 도선을 중심으로 한 반지름 r의 원으로 잡으면, 적분 안의 H를 밖으로 빼낼 수 있다.

방향은 우수법칙으로 정한다. 오른손 엄지를 전류 방향으로 두고 네 손가락을 감아쥐면, 감아쥔 방향이 자계의 방향이다. 자계는 도선을 감싸는 동심원 방향이 된다.

3. 등장 배경과 필요성

19세기 초에 앙페르는 전류가 흐르는 도선끼리 힘이 작용한다는 실험 결과를 정리했다. 이를 수식으로 설명하려면 전류와 자계의 관계가 필요했다. 암페어 주회적분법칙은 그 관계를 적분 형태로 나타낸 법칙이다.

전기장 해석에서 가우스 법칙을 쓰면 대칭성이 큰 문제를 쉽게 풀 수 있다. 자계에서는 암페어 주회적분법칙이 같은 역할을 한다. 전류 분포가 원통 대칭이거나 평면 대칭이면, 적분 한 번으로 자계의 세기를 얻는다.

비오-사바르 법칙으로도 자계를 구할 수 있다. 그러나 무한장 직선처럼 대칭이 뚜렷한 경우에는 적분 계산이 길어진다. 암페어 주회적분법칙을 쓰면 계산이 한 줄로 끝난다. 이 때문에 공학 문제에서 기본 식으로 자리 잡았다.

실무에서는 송전선과 케이블 주변 자계 계산에 이 식을 쓴다. 전선 근처의 자계 세기와 주변 기기에 주는 영향을 추정할 때 출발점이 된다. 또한 평행 도선 사이의 전자력은 한 도선이 만든 자계 속에서 다른 도선이 받는 힘으로 계산한다. 따라서 무한장 직선도선의 자계는 전자력 계산의 기초가 된다.

전자기 이론 전체에서 보면, 이 법칙은 맥스웰 방정식 중 자계의 회전에 관한 식의 적분 형태다. 정상 전류에서는 그대로 쓰이고, 시간에 따라 변하는 전계까지 포함하려면 변위전류 항을 더해야 한다. 그래서 암페어 법칙은 맥스웰 방정식을 이해하는 출발점으로도 중요하다.

시험 관점에서는 두 가지가 핵심이다. 첫째, 법칙의 형태와 기호의 뜻을 정확히 쓰는 것이다. 둘째, 대칭성을 근거로 H를 적분 밖으로 꺼내는 과정을 보이는 것이다. 이 두 가지를 갖춘 답안이 채점에서 높은 점수를 받는다.

4. 구성요소·원리·절차

무한장 직선도선의 자계는 도선을 중심으로 한 동심원 모양으로 생긴다. 이 자계를 구하는 절차는 암페어의 주회적분 법칙(Ampère's circuital law)을 적용하는 것이다. 도선의 축과 수직인 평면에서 도선 중심으로부터 r[m] 떨어진 원형 경로를 적분 경로로 잡는다.

자계의 세기는 전류에 비례하고 거리에 반비례한다

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

위 표의 항목은 모두 적분식에 직접 들어간다. 경로가 원이므로 H와 dl의 방향이 같고, 각 점에서 H의 크기가 같다. 그래서 적분을 곱셈으로 바꿀 수 있다.

원리는 다음 세 단계다.

• 대칭성 판단: 무한장 도선은 축 대칭이므로 자계는 원주 방향이고 크기는 r만의 함수다.
• 주회적분 적용: 반지름 r인 원을 따라 H의 선적분을 취한다.
• 쇄교 전류 대입: 원 안에 흐르는 전류 I를 우변에 둔다.

식으로 쓰면 다음과 같다.

$\oint H \cdot dl = I$

원 경로에서 H와 dl은 평행하므로 H \cdot dl = H\,dl이다. H는 경로 위에서 일정하므로 적분 밖으로 꺼낸다.

$H \oint dl = H \cdot 2\pi r = I$

따라서 자계의 세기는 다음과 같다.

$H = \frac{I}{2\pi r}\ [\mathrm{AT/m}]$

자속밀도 B는 투자율 \mu를 곱해 B = \mu H = \frac{\mu I}{2\pi r}[\mathrm{Wb/m^2}]로 구한다. 진공에서 \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m}이다.

절차를 번호 목록으로 정리하면 다음과 같다.

• 도선의 대칭성(축 대칭)을 확인한다.
• 도선 중심에서 r만큼 떨어진 동심원을 적분 경로로 잡는다.
• 경로 위 H가 일정하고 접선 방향임을 확인한다.
• 주회적분 \oint H\cdot dl을 H\cdot 2\pi r로 정리한다.
• 경로 안 전류 I와 같다고 놓고 H를 구한다.
• 필요하면 B = \mu H로 환산한다.

[구성도 도식]

5. 관련 법령·기준·표준

이 개념은 법령 기준값이 없는 전자기 이론이다. 기준은 전자기학 교과서와 ‘암페어의 법칙’에 따른다. 기준 체계와 단위를 아래 표에 정리한다.

위 표의 식은 교과서 표준 기준이다. 법령이나 KEC 조문에 해당하는 값은 없다. 전류 I의 단위는 A, 거리 r은 m를 쓴다.

개정 연혁은 SI 단위계 정의 변경과 관련이 있다. 2019년 5월 20일 이후 암페어는 기본 전하량의 고정값으로 정의되었다. 그 이전에는 두 평행 도선 사이 힘으로 정의되었다. 자계 식 자체는 바뀌지 않았다. 다만 μ₀는 SI 2019 개정 이후 측정값이 아니라 기존 정의값을 유지한다.