테브난 등가회로

왜 배우는가: 복잡한 회로에서 부하 한 곳의 전류나 전압만 구해야 할 때 전체 연립방정식을 세우지 않고 해석할 수 있다. 교류 회로와 전력 계통 해석에서도 같은 방식으로 쓰이므로 전기 시험에서 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제131회 1교시 1번, 제115회 1교시 13번, 제110회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

선형 능동회로망을 테브난 전압원과 테브난 임피던스의 직렬 회로로 대치하는 정리이다.

• 테브난 등가회로: 두 단자 밖에서 보았을 때 원래 회로와 같은 전압-전류 특성을 주는 단일 전압원과 직렬 임피던스 회로
• 테브난 전압: 부하를 떼고 두 단자를 개방했을 때 나타나는 개방단자 전압
• 테브난 임피던스: 회로 내부 전원을 모두 제거한 뒤 두 단자에서 본 구동점 임피던스
• 전원 제거: 전압원은 단락, 전류원은 개방으로 바꾸는 조작
• 부하 전류: 등가회로에 부하 임피던스를 직렬로 연결했을 때 흐르는 전류

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 복잡한 회로를 '전압원 하나와 임피던스 하나'로 줄여 보는 방법이다. 부하 한 곳의 값만 필요할 때 특히 편하다. 부하를 바꿔 가며 계산해야 할 때도 등가회로만 있으면 된다.

정식 정의는 다음과 같다. 선형 능동 2단자 회로망을 부하 단자 a, b 에서 보면, 개방단자 전압을 전압원으로 하고, 내부 전원을 모두 제거한 상태에서 a, b 에서 본 임피던스를 그 전압원과 직렬로 연결한 등가회로로 바꿀 수 있다.

테브난 전압은 V_{Th} = V_{oc} 이다. 여기서 V_{oc} 는 a, b 를 개방했을 때의 전압[V]이다. 테브난 임피던스는 Z_{Th} 이다. 내부 전압원은 단락하여 제거하고, 내부 전류원은 개방하여 제거한 뒤 a, b 에서 본 임피던스[Ω]를 구한다. 전원에 내부 임피던스가 있으면 그 값을 남겨 둔다.

등가회로에 부하 Z_L 을 직렬로 연결하면 부하 전류는 다음과 같다.

$I_L = \frac{V_{Th}}{Z_{Th} + Z_L}$

여기서 I_L 은 부하 전류[A], V_{Th} 는 테브난 전압[V], Z_{Th} 는 테브난 임피던스[Ω], Z_L 은 부하 임피던스[Ω]이다. 교류에서는 저항 대신 임피던스를 쓰므로 복소수 연산을 해야 한다.

원리는 선형회로의 성질에 있다. 두 단자 밖의 회로가 보는 것은 두 단자의 전압과 전류 관계뿐이다. 따라서 같은 전압-전류 관계를 주는 더 간단한 회로로 바꿔도 부하에 흐르는 전류는 같다. 이 정리는 회로망 내부 소자가 두 단자 밖의 소자와 자기적으로 결합되어 있지 않을 때 성립한다.

등가회로를 구하는 절차는 다음과 같다.

• 부하 임피던스를 떼어 내고 두 단자를 개방한다.
• 개방단자 전압을 계산해 테브난 전압으로 정한다.
• 내부 전원을 제거하고 두 단자에서 본 임피던스를 계산해 테브난 임피던스로 정한다.
• 직렬 등가회로에 부하를 다시 연결하고 옴의 법칙으로 부하 전류를 구한다.

3. 등장 배경과 필요성

복잡한 회로를 루프 방정식이나 마디 방정식으로 풀면 미지수가 많아져 계산이 길어진다. 실제 설계에서는 한 부하의 전압이나 전류만 필요한 경우가 많다. 이때 회로 나머지를 하나의 전원과 임피던스로 줄이면 계산이 짧아진다.

전력 계통에서는 전원 쪽 임피던스를 구하여 고장 전류나 부하 전압을 판단하는 데 쓴다. 전자회로에서는 앞단 회로가 뒷단에 주는 영향을 나타내는 출력 임피던스를 구할 때 쓴다. 두 회로를 연결할 때 한쪽을 등가회로로 바꾸면 다른 쪽 해석이 쉬워진다.

이 정리의 역사에도 기록이 있다. 독일 과학자 헬름홀츠가 1853년에 처음 발견했고, 1883년 프랑스 통신공학자 테브난이 다시 발견했다. 이름은 테브난의 이름을 따서 붙었다. 이 정리는 노턴 정리와 짝을 이루며, 교류 회로에서는 저항을 임피던스로 바꾸어 같은 방식으로 적용한다.

한계도 알아 둘 필요가 있다. 정리는 선형회로에서만 성립한다. 다이오드나 비선형 소자가 포함되면 부하 범위에 따라 등가회로가 달라지므로 그 범위 안에서만 쓸 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

테브난 등가회로는 두 단자 a, b 바깥의 선형 능동회로망을 테브난 전압(Thevenin Voltage, V_th 또는 V_oc)과 테브난 임피던스(Z_th 또는 Z_eq)가 직렬로 연결된 한 개의 전압원과 한 개의 임피던스로 바꾼 모델이다. 부하 Z_L은 이 등가회로의 두 단자에만 연결되므로, 회로 전체를 다시 풀지 않고 부하전류를 옴의 법칙으로 구할 수 있다.

구성요소는 다음 표와 같다.

테브난 임피던스는 능동 전원을 제거한 뒤 본 임피던스다. 전압원은 내부 임피던스만 남기고 단락하고, 전류원은 개방한다. 이 값은 직류에서는 저항, 교류에서는 임피던스(R, X_L, X_C의 합성)로 계산한다. 원리는 선형성과 중첩의 원리에 있으며, 테브난 정리는 선형 쌍방향 회로에 적용된다. 출력 단자에 있는 소자가 회로 내부 소자와 자기적으로 결합되어 있지 않아야 한다는 조건도 있다.

절차는 다음과 같다.

• 부하 Z_L을 단자 a, b에서 분리하여 개방 상태로 만든다.
• 개방된 a, b 사이 전압 V_oc를 계산한다. 이것이 V_th이다.
• 회로 내 모든 독립 전압원을 단락, 독립 전류원을 개방하고 a, b에서 본 임피던스 Z_th를 계산한다.
• 등가회로를 그리고 부하 Z_L을 직렬로 연결한다.
• 부하전류를 I_L = V_th / (Z_th + Z_L) 로 구한다.

핵심 공식은 다음과 같다.

$I_L = \frac{V_{th}}{Z_{th} + Z_L}$

여기서 I_L은 부하전류(A), V_th는 테브난 전압(V), Z_th는 테브난 임피던스(Ω), Z_L은 부하 임피던스(Ω)다. 교류에서는 복소수 계산이므로 Z_th + Z_L의 실수부와 허수부를 따로 합산한 뒤 크기 |I_L| = |V_th| / |Z_th + Z_L| 로 구한다.

테브난 임피던스는 전압원 단락·전류원 개방 후 단자에서 본 임피던스다

전압원은 단락, 전류원은 개방

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이 절차는 세 문제 모두에 같은 순서로 적용된다. 스위치를 닫는 문제에서는 스위치 닫기 직전의 개방 전압이 V_th가 되고, 닫은 뒤에는 Z 가 등가회로에 직렬로 연결된 것으로 본다. 2절과 3절의 개념 설명은 이 절에서 다시 쓰지 않는다.

5. 관련 법령·기준·표준

테브난 정리는 전기회로 이론의 수학적 정리이므로 법령이나 고시가 직접 정하는 기준값은 없다. 다만 전기설비 설계에서 전압강하·단락전류를 계산할 때 테브난 등가 임피던스를 전원 측 임피던스로 쓰는 것이 일반적이다. 아래 표는 이 정리를 적용할 때 쓰는 기준과 조건을 정리한 것이다.

전압원은 단락, 전류원은 개방

선형 범위를 벗어나면 등가가 성립하지 않는다. 대부분의 실제 회로는 부하 범위에 따라 선형성이 깨지므로, 테브난 등가는 선형 구간에서만 유효하다. 또한 등가회로의 전력 손실은 실제 시스템의 손실과 같지 않다. 부하에 공급되는 전력은 등가회로에서 구한 값과 같지만, 내부 손실은 달라질 수 있다.

전기설비 분야에서는 한국전기설비규정(KEC)이 적용되는 설비의 단락전류·전압강하 계산에 같은 원리를 쓴다. 테브난 정리를 직접 규정하는 법령은 없으며, 회로 해석 원리로 활용된다.

• 적용 근거: 선형회로 이론의 중첩 원리
• 계산 조건: 소자 값은 주파수 조건에 맞춰 임피던스로 환산
• 검증 방법: 개방 전압과 단락 전류로 Z_th = V_oc / I_sc 확인