대칭좌표법

왜 배우는가: 불평형 고장(1선 지락, 2선 지락, 선간 단락)은 상마다 전압·전류가 달라 옴법이나 %임피던스법만으로는 풀기 어렵다. 대칭좌표법은 이런 불평형을 세 개의 평형 성분으로 나눠 단상 등가회로로 해석하게 해 주므로, 고장계산 문제에서 거의 매번 쓰이는 기본 도구다.

출제 이력: 제128회 3교시 6번, 제124회 2교시 2번, 제113회 1교시 1번, 제108회 1교시 9번, 제101회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

대칭좌표법은 불평형 3상 전압·전류를 정상분, 역상분, 영상분으로 분해해 성분별로 해석하는 방법이다.

• 대칭좌표법
• 정상분
• 역상분
• 영상분
• Fortescue 변환
• 상회전 방향
• 불평형 고장 해석
• 성분별 단상 등가회로

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 상마다 제각각인 불평형 3상 값을 크기가 같고 위상만 다른 세 묶음으로 나눠 푸는 방법이다. 각 묶음은 평형 상태처럼 다룰 수 있어서 계산이 단순해진다.

정식 정의는 다음과 같다. 3상 불평형 전압 및 전류를 정상분, 역상분, 영상분의 세 대칭성분으로 분해하고, 이 성분들로 불평형 회로를 해석하는 방법이다. 분해에는 복소수 연산자 a=1\angle120^\circ를 쓰는 Fortescue 변환을 사용한다. 여기서 a는 120° 회전 연산자이며, 1+a+a^2=0 관계가 성립한다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 정상분: 발전기 유기기전력과 같은 a-b-c 상회전 방향을 가진 평형 성분이다. 세 상의 크기는 같고 120° 위상차를 가진다.
• 역상분: 정상분과 반대인 a-c-b 상회전 방향을 가진 평형 성분이다. 회전기에서는 정상분과 반대 방향의 회전자계를 만든다.
• 영상분: 세 상의 크기와 위상이 모두 같은 단상 성분이다. 접지선을 통해서만 흐르고, 비접지 계통에서는 흐르지 않는다.

분해식은 다음과 같다.

$V_0=\frac{1}{3}(V_a+V_b+V_c)$

$V_1=\frac{1}{3}(V_a+aV_b+a^2V_c)$

$V_2=\frac{1}{3}(V_a+a^2V_b+aV_c)$

역변환은 다음과 같다.

$V_a=V_0+V_1+V_2,\quad V_b=V_0+a^2V_1+aV_2,\quad V_c=V_0+aV_1+a^2V_2$

전류도 같은 형태로 분해한다. 각 성분은 자기 성분의 단상 등가회로에서만 흐른다.

3. 등장 배경과 필요성

3상 단락 고장은 세 상이 대칭으로 변하는 평형 고장이라 상 하나만 계산하면 된다. 옴법이나 %임피던스법으로 충분히 풀린다. 반면 1선 지락이나 2선 지락은 한 상 또는 두 상만 변하므로 상 간 결합이 생겨 평형 해석이 맞지 않는다.

이 문제를 풀기 위해 Fortescue가 제안한 대칭좌표법이 쓰인다. 불평형 값을 세 성분으로 나누면 성분 사이의 결합이 끊기고, 각 성분은 정상분, 역상분, 영상분 등가회로로 따로 풀린다. 이후 성분 값을 다시 합성해 상 전압과 상 전류를 구한다.

이 방법은 발전기와 변압기의 고장 계산, 보호계전기 정정, 불평형 부하 해석에 공통으로 쓰인다. 따라서 고장계산 문제에서 대칭좌表법을 빠뜨리면 답의 골격이 무너진다.

4. 구성요소·원리·절차

대칭좌표법은 불평형 3상 회로의 전압·전류를 정상분, 역상분, 영상분의 세 개 평형 성분으로 나누어 해석한다. 각 성분은 단상 등가회로로 바꿔 풀 수 있으므로 1선 지락 같은 불평형 고장 계산에 쓰인다.