교류 평형회로 순시전력

왜 배우는가: 교류회로에서 순시전력은 시간에 따라 변하지만, 평형 회로에서는 그 합이 일정해 발전기와 전동기의 진동과 토크 맥동을 줄인다. 이 사실은 3상 전력의 장점을 설명하는 핵심 근거라서 기술사 시험에서 반복해 출제된다. 유효전력·무효전력·피상전력과의 관계를 함께 이해해야 답안을 정확히 쓸 수 있다.

출제 이력: 제103회 1교시 12번, 제92회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의: 교류 평형회로에서 각 상의 순시전력 합은 시간에 관계없이 일정하며, 그 값은 유효전력과 같다.

핵심 키워드

• 순시전력(Instantaneous Power): 임의의 순간에 전압과 전류의 곱으로 얻는 전력 p(t)=v(t)\,i(t)
• 평형 회로(Balanced Circuit): 각 상의 전압 크기가 같고 위상차가 120°이며, 부하 임피던스가 모든 상에서 같은 회로
• 유효전력(Active Power): 실제로 일을 하는 전력 P=VI\cos\theta [W]
• 무효전력(Reactive Power): 전원과 리액턴스 사이를 오가는 전력 Q=VI\sin\theta [Var]
• 피상전력(Apparent Power): 전압과 전류의 실효값 곱 S=VI [VA]
• 역률(Power Factor): 유효전력과 피상전력의 비 \cos\theta=P/S
• 위상차(Phase Difference): 전압과 전류 사이의 각 \theta

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 교류의 전력은 매 순간 값이 변한다. 그런데 평형 회로에서는 세 상의 순시전력을 더하면 변하는 성분이 서로 상쇄되어 항상 같은 값이 나온다.

정식 정의는 다음과 같다. 교류 한 상의 순시전력은 전압 v(t)=\sqrt{2}V\sin\omega t, 전류 i(t)=\sqrt{2}I\sin(\omega t-\theta)의 곱이다. 이 곱은 VI\cos\theta-VI\cos(2\omega t-\theta)로 바뀌며, 첫 항은 시간에 무관한 평균 성분이고 둘째 항은 두 배 주파수로 진동하는 성분이다.

단상 회로의 순시전력은 진동 성분이 남아 있다. 이 진동은 전원과 부하 사이에서 에너지가 오가는 무효 성분이 만든다. 평균 성분 VI\cos\theta가 바로 유효전력이다.

$p(t)=VI\cos\theta\,[1+\cos(2\omega t)]+VI\sin\theta\,\sin(2\omega t)$

이 식의 두 번째 항은 무효전력 Q에 연결된 성분이다. 평형 3상에서는 위상이 120° 다른 세 상의 2\omega t 성분이 합해지며 서로 상쇄되어 사라진다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

• 유효전력은 순시전력의 평균값이다.
• 무효전력은 순시전력의 진동 진폭이다.
• 피상전력은 두 성분의 벡터 합 크기다. S^2=P^2+Q^2 관계가 성립한다.

3. 등장 배경과 필요성

단상 교류 회로에서는 순시전력이 2\omega 주파수로 맥동한다. 이 맥동은 발전기 축에 토크 변동을 일으킨다. 전동기에서는 진동과 소음의 원인이 되고, 축계에는 기계적 피로를 준다.

3상 전력 방식은 이 문제를 해결하기 위해 쓰인다. 세 상의 전압이 120° 간격으로 위상이 다르므로 각 상의 맥동이 서로 상쇄된다. 그 결과 전체 순시전력이 일정해진다.

이 특성 덕분에 대용량 발전기와 전동기가 부드럽게 회전한다. 또 송전선에서 전력을 일정하게 전달할 수 있어 장거리 송전에 유리하다. 이 두 이유가 3상 방식이 전력계통의 표준이 된 배경이다.

평형 3상 회로에서 순시전력의 총합이 유효전력과 같다는 결과는 이러한 필요에서 나온다. 답안에서는 이 결과가 3상 방식을 쓰는 근본 이유라는 점을 함께 쓴다.

4. 구성요소·원리·절차

평형 3상 회로는 세 상의 전압 크기가 같고 위상만 120°씩 다른 전원과, 상마다 같은 임피던스를 가진 부하로 이루어진다. 순시전력의 일정성은 이 두 조건에서 나온다. 구성요소의 역할을 먼저 나눠 본다.

표의 구성요소는 모두 평형 3상의 조건에 묶여 있다. 세 상의 크기와 임피던스가 같으므로 상별 순시전력은 위상 차이만 가진다. 이 위상 차이가 합에서 시간항을 지우는 원인이 된다.

각 상의 순시전력은 전압과 전류의 곱이다. a상의 식은 다음과 같다.

$p_a(t)=v_a i_a=2VI\\cos\\omega t\\cos(\\omega t-\\theta)$

곱을 합으로 바꾸면 다음과 같다.

$p_a(t)=VI[\\cos\\theta+\\cos(2\\omega t-\\theta)]$

첫 항 VI cosθ는 시간과 무관한 평균 항이며 유효전력의 크기와 같다. 둘째 항은 맥동 항으로 2ω의 주파수로 변한다. 단상 회로에서는 이 맥동 항 때문에 전력이 정(+)과 부(−)를 오가며 진동한다. 맥동 항의 진폭은 VI로 평균 항과 같은 크기다.

b상과 c상은 ωt를 각각 120°, 240° 늦춘 식이 된다. 세 상을 더하면 다음과 같다.

$\\sum p=VI[3\\cos\\theta+\\cos(2\\omega t-\\theta)+\\cos(2\\omega t-\\theta-240^\\circ)+\\cos(2\\omega t-\\theta+240^\\circ)]$

세 맥동 항은 120° 간격의 벡터합이므로 합이 0이 된다. 따라서 결과는 다음과 같다.

$\\sum p=3VI\\cos\\theta$

평형 3상 순시전력의 합은 시간에 무관하게 일정하며 유효전력 P와 같다

이 결과는 회전기에 중요하다. 발전기나 전동기의 토크가 시간에 따라 맥동하지 않으므로 진동과 소음이 줄고 축계의 피로가 작아진다. 반면 단상 전원은 2ω 맥동이 남아 있어 같은 용량의 기기라도 토크 맥동을 피하기 어렵다. 따라서 평형 3상 전원이 대용량 전동기와 발전기의 표준이 된다.

선간값으로 바꾸면 결선과 무관한 식이 된다. Y결선은 V_L=√3V, I_L=I이다. 이를 대입하면 다음과 같다.

$P=3VI\\cos\\theta=\\sqrt{3}V_L I_L\\cos\\theta$

Δ결선은 V_L=V, I_L=√3I이다. 이를 대입해도 같은 결과가 나온다. 따라서 결선 방식에 관계없이 평형 3상 전력은 선간값으로 P=√3 V_L I_L cosθ로 쓴다.

순시전력 합을 구하는 절차는 다음과 같다.

• 상전압과 상전류를 실효값과 위상으로 설정한다.
• 상별 순시전력 p를 전압과 전류의 곱으로 구한다.
• 곱을 합으로 바꿔 평균 항과 2ω 맥동 항으로 나눈다.
• a상, b상, c상의 순시전력을 더한다.
• 2ω 맥동 항이 120° 간격으로 상쇄되는지 확인한다.
• 결과 3VI cosθ를 유효전력 P와 비교한다.

다음 흐름도는 이 절차를 답안지에 그리는 순서다.

5. 관련 법령·기준·표준

이 개념은 교류회로 이론의 공식과 결선 관계가 기준이다. 법령 조항보다 식과 결선별 선간값 관계를 정확히 쓰는 것이 채점의 핵심이다. 전기설비의 설계와 수전 계약에서는 한국전기설비규정(KEC)이 적용되며, 2021-01-01부터 시행됐다. 이 규정은 전압 구분과 부하 계산의 바탕이 된다.

선간전압과 상전압의 관계는 결선마다 다르다. Y결선은 선간전압이 상전압의 √3배이고, Δ결선은 선전류가 상전류의 √3배다. 두 관계를 함께 쓰면 평형 3상 전력 식이 결선에 관계없이 같은 모양이 된다.