무차원수

왜 배우는가: 무차원수는 모형 실험 결과를 실물에 옮기거나 유동·열전달 현상의 지배 인자를 판단할 때 쓰는 기본 도구다. 설비 설계에서 배관 유동의 층류·난류 판정, 송풍기·펌프 상사 시험, 열교환기 열전달 해석에 반복해서 쓰이므로 시험에서도 정의와 물리적 의미를 묻는 형태로 자주 출제된다.

출제 이력: 제138회 1교시 5번, 제101회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

무차원수는 물리량을 단위 없이 조합한 비로, 두 유동이 역학적으로 상사인지를 판단하는 기준이다.

• 무차원수(Dimensionless Number)
• 역학적 상사(Dynamic Similarity)
• 레이놀즈 수(Reynolds Number, Re)
• 프라우드 수(Froude Number, Fr)
• 오일러 수(Euler Number, Eu)
• 마하 수(Mach Number, Ma)
• 압력계수(Pressure Coefficient, Cp)
• 누셀트 수(Nusselt Number, Nu)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 무차원수는 "서로 다른 힘의 크기를 나눈 값"이다. 크기가 다른 두 장치라도 이 값이 같으면 같은 모양의 흐름이 생긴다. 실험실에서 축소 모형으로 얻은 결과를 실물에 옮길 수 있는 이유가 여기에 있다.

정식으로 정의하면, 무차원수는 단위를 갖지 않도록 물리량을 조합한 무차원 군(group)이다. 동역학적 상사를 만족하려면 기하학적으로 상사인 형상에서 관련 무차원수가 모두 같아야 한다. 이때 무차원수는 한 힘이 다른 힘에 비해 얼마나 큰지를 나타낸다.

레이놀즈 수는 관성력과 점성력의 비다. 식은 Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu} 이며, \rho는 밀도(kg/㎥), V는 평균 속도(m/s), L은 특성 길이(m), \mu는 점성 계수(Pa·s), \nu는 동점성 계수(㎡/s)다. 값이 작으면 점성이 지배하는 층류이고, 크면 관성이 지배하는 난류 쪽이다. 배관 유동에서는 관련 기준이 정한 임계 레이놀즈 수 이하를 층류로 보는 것이 널리 쓰이는 판정 기준이다.

프라우드 수는 관성력과 중력의 비다. 식은 Fr = \frac{V}{\sqrt{g L}} 이며, g는 중력가속도(m/s²)다. 자유 표면 유동, 즉 개수로나 선박 조파저항에서 중요하다. Fr이 1보다 크면 사류(초임계), 작으면 常류(아임계)다.

오일러 수는 압력에 의한 힘과 관성력의 비다. 식은 Eu = \frac{\Delta p}{\rho V^2} 이며, \Delta p는 압력차(Pa)다. 압력 손실이나 캐비테이션 판단에 쓰인다.

마하 수는 유속과 음속의 비다. 식은 Ma = \frac{V}{a} 이며, a는 음속(m/s)이다. 압축성 유동의 기준이고, 일반적으로 Ma가 0.3 미만 면 비압축성으로 취급한다.

압력계수는 동압으로 압력차를 무차원화한 값이다. 식은 C_p = \frac{p - p_\infty}{\frac{1}{2}\rho V^2} 이며, 날개나 덕트 표면의 압력 분포를 비교할 때 쓴다.

열전달 무차원수는 같은 원리를 열 이동에 적용한 것이다. 누셀트 수 Nu = \frac{hL}{k} 는 대류 열전달과 전도 열전달의 비, 프란틀 수 Pr = \frac{\nu}{\alpha} 는 운동량 확산과 열 확산의 비, 그라쇼프 수 Gr 는 부력과 점성력의 비다. 강제대류에서는 Nu가 Re와 Pr의 함수로, 자연대류에서는 Gr과 Pr의 함수로 정리된다.

3. 등장 배경과 필요성

19세기 후반 유체역학은 방정식을 풀기 어려운 문제가 많았다. 실제 장치를 그대로 만들어 시험하면 비용과 시간이 많이 든다. 그래서 크기를 줄인 모형으로 실험하고 결과를 실물에 옮길 방법이 필요했다.

오스본 레이놀즈는 파이프 내 유동이 층류에서 난류로 바뀌는 조건을 실험으로 연구했다. 이 과정에서 관성력과 점성력의 비가 흐름의 상태를 결정한다는 것이 드러났다. 이후 이 값은 그의 이름을 따 레이놀즈 수로 불렸다.

나비에-스토크스 방정식을 무차원화하면 레이놀즈 수가 자연스럽게 나온다. 대표 길이와 속도로 변수를 나누면 방정식의 계수가 하나의 무차원 군으로 정리된다. 이 때문에 무차원수는 실험 설계와 이론 해석 모두에서 공통 언어가 되었다.

현재는 설비 설계에서도 쓰인다. 배관의 마찰 손실 계산, 송풍기와 펌프의 상사 법칙, 열교환기의 열전달 상관식이 모두 무차원수를 바탕으로 한다. 설비 기술사는 이 값으로 실험 결과를 일반화하고 설계 조건을 판단해야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

무차원수는 물리량을 기준 길이·속도·밀도 등으로 나누어 단위가 없는 비로 만든 값이다. 같은 무차원수를 갖는 두 흐름은 크기나 유체가 달라도 역학적으로 상사하다. 무차원수를 구성하는 요소는 관성력, 점성력, 중력, 압력, 탄성력, 표면장력 등 힘의 종류별 항이다. 각 무차원수는 두 힘의 비로 해석된다.

위 기호를 조합하면 주요 무차원수가 만들어진다. 관성력은 \rho v^2 L^2, 점성력은 \mu v L, 중력은 \rho g L^3, 압력은 p L^2 로 나타낸다. 각 항을 비로 쓰면 다음과 같다.

$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{v L}{\nu}$

Re 는 레이놀즈 수, \nu 는 동점성 계수(m²/s)다. 관성력과 점성력의 비다.

$Fr = \frac{v}{\sqrt{gL}}$

Fr 는 프라우드 수다. 관성력과 중력의 비의 제곱근이다.

$Eu = \frac{\Delta p}{\rho v^2}$

Eu 는 오일러 수, \Delta p 는 압력차(Pa)다. 압력과 관성력의 비다.

$Ma = \frac{v}{c}$

Ma 는 마하 수, c 는 음속(m/s)이다. 유동 속도와 음속의 비다.

원리는 다음과 같다. 무차원 방정식이 같은 형태이면 무차원 경계조건도 같을 때 두 흐름의 해도 같다. 따라서 실물과 축소 모형의 무차원수를 맞추면 모형 실험 결과를 실물에 적용할 수 있다. 여러 힘이 함께 작용하면 무차원수를 여러 개 동시에 맞춰야 하며, 모두 맞출 수 없을 때는 지배적인 힘에 해당하는 무차원수를 우선한다.

무차원수는 두 힘의 비이며, 같은 값이면 두 흐름은 역학적으로 상사하다.

절차는 다음과 같다.

• 현상에 작용하는 힘을 나열한다.
• 지배적인 힘의 쌍을 골라 무차원수를 정한다.
• 실물과 모형의 무차원수를 같게 맞춘다(예: 레이놀즈 수 일치).
• 모형에서 측정한 값을 무차원 식으로 환산해 실물 값을 얻는다.

도식은 다음과 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

무차원수는 법령이 정한 수치 기준이 아니라 상사 해석에 쓰는 물리 기준이다. 아래 표는 본 절에서 다루는 무차원수의 정의와 판정 기준을 모은 것이다.

판정 기준은 교재·설계 자료에서 널리 쓰는 값이다. 관내 유동의 층류 천이 는 관련 기준이 정한 임계 레이놀즈 수를 흔히 쓴다. 마하 수 0.3 은 비압축 가정의 관용 한계다. 이 값들은 조건에 따라 달라지므로 답안에는 범위와 함께 쓴다.

법령 측면에서 건축기계설비 분야는 「건축물의 설비기준 등에 관한 규칙」과 「건축설비설계기준」 등이 덕트·배관 설계의 압력손실을 다룬다. 이때 무차원수는 직접 기준값으로 적히지 않고, 마찰계수·압력손실 계산의 근거로 쓰인다. 레이놀즈 수와 마찰계수 관계는 설계 실무에서 Moody 선도로 정리된다.

따라서 특정 기준의 개정 내용은 쓰지 않는다.

6. 유형과 비교

무차원수는 물리량들의 비로 만들어지므로, 어떤 힘의 비를 보느냐에 따라 여러 종류로 나뉜다. 역학적 상사에서 자주 쓰는 수는 관성력·점성력·중력·압축성 힘·압력 등 힘의 종류별로 분류하면 이해가 쉽다. 아래 표는 레이놀즈 수, 프라우드 수, 오일러 수, 마하 수, 압력계수의 대표 정의와 지배 유동을 정리한 것이다.