그라쇼프수·너셀수

왜 배우는가: 그라쇼프수와 너셀수는 자연대류와 강제대류 열전달을 무차원으로 비교하는 기본 도구라서, 냉난방 열원설비의 열교환기·방열기·냉각탑 설계와 열전달 해석에서 계속 쓰인다. 두 수는 대류 열전달 문항에서 정의와 관련식을 함께 묻는 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제125회 1교시 1번, 제98회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

그라쇼프수(Gr)는 유체에 작용하는 부력과 점성력의 비를 근사하는 무차원수로, 자연대류의 흐름 상태를 판단하는 기준이다.

• 그라쇼프수(Grashof number)
• 부력(buoyancy force)
• 점성력(viscous force)
• 자연대류(natural convection)
• 너셀수(Nusselt number)
• 열팽창계수(coefficient of thermal expansion)
• 특성길이(characteristic length)
• 동점성계수(kinematic viscosity)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 뜨거운 유체는 밀도가 작아져 위로 떠오르고 차가운 유체는 아래로 내려간다. 이 움직임을 키우는 힘이 부력이고, 움직임을 막는 힘이 점성력이다. 그라쇼프수는 두 힘의 크기 비를 한 숫자로 나타낸다.

그라쇼프수의 정식 정의는 다음과 같다. 중력 가속도와 열팽창계수, 표면과 주위 유체의 온도차, 특성길이의 세제곱을 곱한 값을 동점성계수의 제곱으로 나눈다. 수직 평판에서는 특성길이로 수직 높이 L을 쓴다. 관이나 물체에서는 직경 D를 쓴다. 이상기체의 열팽창계수는 절대온도의 역수로 근사한다.

$Gr_L = \frac{g\,\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2}$

여기서 g는 중력 가속도(m/s²), \beta는 열팽창계수(1/K), T_s는 표면 온도(K 또는 ℃), T_\infty는 주위 유체의 온도, L은 특성길이(m), \nu는 동점성계수(m²/s)다. 그라쇼프수는 강제대류에서 레이놀즈수가 하는 역할을 자연대류에서 맡는다.

너셀수(Nu)는 대류 열전달과 전도 열전달의 비율이다. 같은 유체층을 통과하는 대류에 의한 열전달 크기를 전도에 의한 열전달 크기로 나눈 값이다. 너셀수가 1이면 대류 효과가 없고 전도만으로 열이 전달된다. 너셀수가 클수록 대류가 열전달을 키운다.

$Nu = \frac{h\,L_c}{k}$

여기서 h는 대류 열전달계수(W/m²·K), L_c는 특성길이(m), k는 유체의 열전도도(W/m·K)다. 너셀수는 대류 열전달계수를 유체의 열전도율로 나눈 값에 특성길이를 곱한 것이므로, 대류 열전달계수 h를 구하는 방법으로 쓰인다.

그라쇼프수와 너셀수는 함께 쓰인다. 자연대류 상관식은 보통 Nu = f(Gr, Pr) 형태이고, 그라쇼프수와 프란틀수의 곱인 레일리수(Ra)로 묶어 쓰기도 한다. 그라쇼프수는 흐름의 원인과 상태를 나타내고, 너셀수는 그 결과로 생기는 열전달의 크기를 나타낸다.

3. 등장 배경과 필요성

열원설비 설계에서는 팬이나 펌프 없이 밀도 차로만 움직이는 자연대류가 많이 쓰인다. 방열기 주변 공기 흐름, 보일러 외벽 표면의 열손실, 냉각탑 주변 공기 흐름이 그 예다. 이런 경우 흐름을 강제로 정하지 않으므로 유동 상태를 무차원수로 판단해야 한다.

실험과 해석에서도 무차원수가 필요하다. 유체 종류, 온도차, 크기가 달라도 같은 무차원수에서 같은 흐름과 열전달 특성이 나타나면 실험 결과를 다른 조건에 옮겨 쓸 수 있다. 그래서 그라쇼프수와 너셀수는 상사법칙의 기준으로 쓰인다.

그라쇼프수가 커지면 부력이 점성력보다 우세해져 흐름이 층류에서 난류로 바뀐다. 수직 평판에서 임계 그라쇼프수는 약 10⁹으로 알려져 있다. 이 값을 넘으면 난류 자연대류의 상관식을 써야 하므로, 흐름 상태의 판정은 상관식 선택과 직결된다.

또 강제대류와 자연대류가 함께 있는 경우도 있다. 이때 Gr/Re² 값으로 어느 쪽이 지배하는지 판단한다. 이 비가 1보다 작으면 자연대류 영향이 작고, 1보다 크면 자연대류가 지배한다. 이 판단이 있어야 어떤 상관식을 쓸지 정할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

그라쇼프수(Grashof number, Gr)는 자연대류에서 부력과 점성력의 비를 나타내는 무차원수다. 유체가 온도차로 밀도가 달라지면 부력이 생기고, 이 힘이 점성력을 이겨야 유동이 일어난다. 그라쇼프수는 이 두 힘의 상대적 크기를 한 값으로 묶는다.

그라쇼프수의 구성요소는 다음과 같다.

수식은 다음과 같다.

$Gr_L = \frac{g\beta (T_s - T_\infty) L^3}{\nu^2}$

여기서 Gr_L은 특성길이 L 기준 그라쇼프수(무차원), g는 중력가속도(m/s²), \beta는 체적팽창계수(1/K), T_s는 표면온도(K), T_\infty는 주변 유체 온도(K), \nu는 동점성계수(m²/s)다. 유체 온도가 이상기체에 가까우면 \beta = 1/T로 둔다.

그라쇼프수는 레이놀즈수(Re) 가 강제대류에서 하는 역할을 자연대류에서 한다. 자연대류의 유동이 층류인지 난류인지는 그라쇼프수로 판단한다. 수직 평판에서 임계 그라쇼프수는 약 10^9이고, 이보다 크면 난류로 본다.

그라쇼프수는 부력과 점성력의 비로, 자연대류의 층류·난류 전이를 판단하는 무차원수다

그라쇼프수와 레이놀즈수의 상대적 중요도는 Gr/Re^2로 판단한다. 값이 1보다 많이 작으면 자연대류 영향을 무시하고, 1보다 많이 크면 자연대류가 지배한다. 1 근처면 강제대류와 자연대류를 함께 고려하는 혼합대류다.

자연대류 열전달 해석의 절차는 다음과 같다.

• 표면온도 T_s, 유체온도 T_\infty, 특성길이 L을 정한다.
• 막온도로 유체 물성(\nu, \alpha, k)과 \beta를 구한다.
• 그라쇼프수 Gr_L을 계산한다.
• 프란틀수 Pr과 곱해 레일리수 Ra_L = Gr_L \cdot Pr을 구한다.
• 레일리수 범위에 맞는 실험 상관식으로 누셀수 Nu를 구한다.
• h = Nu \cdot k / L로 대류열전달계수를 구하고 Q = hA(T_s - T_\infty)로 열량을 구한다.

5. 관련 법령·기준·표준

그라쇼프수와 누셀수는 법령으로 정해진 값이 아니라 열전달 공학의 기본 무차원수다. 설계에서는 실험에서 얻은 상관식을 쓴다. 기준 수치는 아래 표에 정리한다.

누셀수의 특성길이는 열경계층 두께와 관련되게 정한다. 관내 유동은 관 직경, 평판은 판의 길이, 수직 자연대류 평판은 높이를 쓴다. 복잡한 형상은 유체 체적을 표면적으로 나눈 값을 쓴다.

건축설비 설계에서는 상관식을 인용하는 해당 설계기준의 값을 따른다.

6. 유형과 비교

그라쇼프수는 대류 형태에 따라 기준 길이와 식이 달라진다. 수직 평판, 관·둥근 물체처럼 형상이 다르면 특성 길이 L 또는 직경 D를 쓴다. 자연대류와 강제대류를 한 자리에서 비교할 때는 그라쇼프수와 레이놀즈수의 비를 본다.

표에서 보듯 자연대류의 Gr은 강제대류의 Re에 대응한다. 두 수 모두 관성·부력 등 힘의 비를 나타내므로 역할이 같다고 이해하면 된다.