베르누이 방정식

왜 배우는가: 베르누이 방정식은 배관 내 압력·속도·위치 에너지 변환을 계산하는 기본식이어서 펌프 양정, 배관 압력손실, 오리피스 유량 측정 등 설비 전반의 해석에 쓰인다. 시험에서는 정의와 적용조건을 묻는 용어형 문제와 압력차 계산 문제로 반복 출제된다.

출제 이력: 제120회 1교시 5번, 제118회 1교시 11번, 제114회 1교시 8번, 제95회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

베르누이 정리(Bernoulli's theorem)는 비압축성, 비점성, 정상류인 유체가 같은 유선을 따라 흐를 때 단위중량당 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이 일정하다는 에너지 보존 법칙이다.

유선을 따라 압력수두·속도수두·위치수두의 합이 일정하다는 에너지 보존 법칙

핵심 키워드

• 베르누이 정리(Bernoulli's theorem)
• 에너지 보존 법칙(Law of Conservation of Energy)
• 압력수두(Pressure Head)
• 속도수두(Velocity Head)
• 위치수두(Elevation Head)
• 유선(Streamline)
• 비압축성 유체(Incompressible Fluid)
• 정상류(Steady Flow)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 물이 흐를 때 에너지는 압력, 속도, 높이 사이에서 서로 바뀔 뿐 전체 합은 변하지 않는다는 뜻이다. 관이 좁아져 속도가 빨라지면 압력이 낮아지고, 높은 곳에 있으면 위치 에너지가 커져 압력이 줄어든다.

정식 정의는 다음과 같다. 이상 유체가 정상류로 한 유선을 따라 흐를 때 단위중량당 전 수두는 일정하다. 이를 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = H \quad (\text{일정})$

여기서 p는 압력(Pa), \gamma는 비중량(N/m³), v는 유속(m/s), g는 중력가속도(9.81m/s²), z는 기준면으로부터의 높이(m), H는 전 수두(m)이다.

압력수두는 단위중량당 압력 에너지이며 p/\gamma로 나타낸다. 속도수두는 단위중량당 운동 에너지이며 v^2/2g로 나타낸다. 위치수두는 단위중량당 위치 에너지이며 z로 나타낸다. 세 항의 단위는 모두 길이(m)다.

유선(Streamline)은 한 순간 모든 점에서 속도 벡터에 접하는 가상의 선이다. 베르누이 정리는 임의의 두 점이 같은 유선 위에 있을 때 성립한다. 정상류에서는 유선과 유적선이 일치한다.

비압축성 유체는 흐르는 동안 밀도가 일정한 유체다. 액체인 물은 대부분의 배관 문제에서 이 가정을 만족한다. 기체는 고속이나 저압에서 밀도 변화가 커서 적용에 주의가 필요하다.

이상 유체(Ideal Fluid)는 점성에 의한 마찰이 없는 유체다. 실제 배관에서는 마찰손실이 생기므로 마찰손실수두 h_L을 더해 실제 에너지 식을 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

베르누이 방정식은 1738년 다니엘 베르누이가 저서 『유체역학(Hydrodynamica)』에서 발표했다. 뉴턴 역학의 에너지 보존 개념을 유체 흐름에 적용한 결과다. 이 식이 나오기 전에는 관내 유동을 경험식으로만 다루었다.

설비 분야에서는 펌프 양정 산정, 배관 압력 분포 계산, 고가수조 급수 압력 검토, 오리피스·벤투리 유량계 해석에 필요하다. 배관 내에서 압력이 어디서 얼마나 변하는지 예측할 수 있어 설계 기준 검토의 출발점이 된다.