구조물 모멘트도

왜 배우는가: 구조물 모멘트도는 골조와 연속보의 부재력 분포를 한눈에 보여 주는 기본 도구다. 구조 설계에서 최대 모멘트 위치와 부호를 판단하는 출발점이므로 실무에서 매일 쓰인다. 기술사 시험에서는 부정정 골조의 모멘트도를 그리라는 문항이 반복해서 나온다.

출제 이력: 제111회 2교시 1번, 제100회 2교시 2번, 제100회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

구조물 모멘트도는 외력을 받는 부재의 각 위치에서 휨모멘트 값을 축 방향 좌표에 대응시켜 그린 도형이다.

• 모멘트도(Bending Moment Diagram, BMD)
• 휨모멘트
• 부호 규약
• 고정단 모멘트
• 절점 모멘트
• 강비(휨강성비)
• 횡변위(가로흔들림)
• 정정·부정정 구조

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 구조물의 어느 위치가 얼마나 휘려고 하는지를 선으로 나타낸 그림이다. 보의 한 점을 잘라 보면 그 점의 왼쪽(또는 오른쪽) 힘들의 모멘트 합이 그 점의 휨모멘트가 된다. 이 값을 모든 위치에서 구해 이으면 모멘트도가 된다.

정식으로는 부재 축을 따라 위치 x에서의 휨모멘트 M(x)를 나타낸 그래프를 모멘트도라 한다. 하중과 모멘트 사이에는 \frac{dV}{dx}=-w, \frac{dM}{dx}=V 관계가 성립한다. 따라서 분포하중이 없는 구간에서 모멘트도는 직선이고, 집중하중이 작용하는 점에서 기울기가 꺾인다.

휨모멘트는 부재 단면에 작용하는 굽힘 효과의 크기다. 부호 규약은 어느 쪽 섬유가 인장되는지로 정한다. 보의 아래쪽이 인장이면 정(+) 모멘트로 두는 방식이 널리 쓰인다. 부호 규약을 바꾸면 그림도 뒤집히므로 답안 첫머리에 규약을 밝힌다.

고정단 모멘트는 양단이 고정된 부재에 하중이 작용할 때 단부에 생기는 모멘트다. 절점 모멘트는 골조에서 강접합 절점에 모인 모멘트의 합이며, 평형을 만족해야 한다. 골조의 모멘트도는 절점 평형과 부재 변형 조건을 함께 만족하도록 구한다.

강비(휨강성비)는 부재의 \frac{EI}{L} 값의 상대적인 비다. 처짐각법과 모멘트분배법에서는 절대값보다 부재 사이의 강비가 결과를 좌우한다. 같은 하중이라도 강비가 달라지면 모멘트 분배가 달라진다.

횡변위(가로흔들림)는 골조의 절점이 수평으로 이동하는 변형이다. 횡변위가 있으면 기둥에 추가 모멘트가 생기므로 모멘트도의 모양이 바뀐다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 구조 해석은 정정 구조에 한정되었다. 힘의 평형 방정식만으로 반력과 부재력을 구할 수 있었기 때문이다. 연속보와 골조가 쓰이면서 평형 방정식만으로는 해를 구할 수 없는 부정정 구조가 늘었다.

이 문제를 풀기 위해 변형 조건을 함께 쓰는 방법이 발전했다. 처짐각법은 절점 회전각과 부재 변위를 미지수로 두고 모멘트를 구하는 방법이다. 모멘트분배법은 1930년 미국의 하디 크로스가 발표한 근사해법으로, 고정단 모멘트를 반복 분배·전달하여 절점 모멘트를 수렴시킨다. 이 두 방법은 지금도 모멘트도를 손으로 그리는 기본 절차로 가르친다.

모멘트도가 필요한 이유는 설계와 검토의 기준이 되기 때문이다. 최대 정(+)·부(-) 모멘트의 위치와 크기로 부재 단면과 철근 배치를 정한다. 골조에서는 기둥과 보의 모멘트 크기를 비교해 강기둥-약보 같은 설계 개념을 확인한다. 또한 모멘트도의 형상이 맞는지 확인하면 계산 실수를 빠르게 찾을 수 있다.

경계조건에 따라 모멘트도가 크게 달라진다. 단순지지보는 양단의 모멘트가 0이지만, 고정단이 있으면 단부에 큰 부(-) 모멘트가 생긴다. 캔틸레버는 고정단에서 최대가 된다. 따라서 모멘트도를 그릴 때 먼저 지점 조건을 확인하는 것이 첫 단계다.

4. 구성요소·원리·절차

구조물 모멘트도는 부재 축을 따라 휨모멘트 값의 변화를 그린 그림이다. 가로축에는 부재 위치, 세로축에는 모멘트 값을 잡는다. 모멘트도는 인장측에 그리는 것이 관례이며, 모멘트 부호가 바뀌는 점은 모멘트가 0인 반곡점이 된다. 모멘트도 작도는 하중과 지점 조건을 먼저 정리하고 반력을 구한 뒤, 구간별 모멘트 식을 세워 값을 대입하는 순서로 진행한다.

각 구성요소는 모멘트도의 모양을 결정한다. 지점 조건은 경계값을 정하고, 하중은 모멘트 곡선의 차수와 꺾임을 정한다. 절점 조건은 연속성을 정하며, 강성은 부정정 구조에서 모멘트가 나뉘는 비율을 정한다.

구간별 모멘트는 절단법으로 구한다. 임의 단면의 휨모멘트는 그 단면 한쪽에 작용하는 외력이 단면 중심에 만드는 모멘트의 합이다.

$M(x)=\sum(\text{힘}\times\text{거리})$

위 식의 M은 단면 위치 x의 휨모멘트, 힘은 단면 한쪽의 반력과 하중이다. 거리는 단면에서 힘 작용점까지의 수평거리다. 부호는 인장측 기준으로 맞춘다.

하중, 전단력, 모멘트 사이에는 미분 관계가 있다. 이 관계로 모멘트도의 모양을 예측할 수 있다.

$dM/dx = V, \quad dV/dx = -w$

V는 전단력, w는 아래 방향 분포하중의 세기다. 이 관계에서 다음 네 가지 결론이 나온다. 분포하중 구간의 모멘트도는 2차 곡선(포물선)이다. 집중하중 작용점에서는 모멘트도의 기울기가 꺾인다. 전단력이 0인 위치에서 모멘트가 극값을 가진다. 힌지와 자유단에서는 모멘트가 0이다.

정정 구조는 평형 방정식만으로 반력과 부재력을 구한다. 부정정 구조는 평형 방정식에 적합조건을 더해야 한다. 처짐각법은 절점 회전각과 부재 상대변위를 미지수로 두고 단부 모멘트를 식으로 세운다.

$M_{ij} = (2EI/L)(2\theta_i + \theta_j - 3\psi) + FEM_{ij}$

위 식에서 M_ij는 i단 모멘트, EI는 휨강성, L은 부재 길이, θ는 절점 회전각, ψ는 부재 현의 회전각, FEM은 고정단 모멘트다. 고정단 모멘트는 양단이 고정된 상태에서 하중이 만드는 단부 모멘트다.

모멘트도 작성 절차는 다음과 같다.

• 하중과 지점 조건을 도면에 정리하고 힌지 위치를 표시한다.
• 평형 방정식으로 반력을 구하고 정정 여부를 판단한다.
• 집중하중, 지점, 절점을 기준으로 구간을 나눈다.
• 구간마다 절단하여 M(x) 식을 세운다.
• 구간 끝과 극값 위치의 모멘트를 계산한다.
• 인장측에 값을 점으로 찍고 직선 또는 곡선으로 잇는다.

작도에서 흔히 놓치는 점은 두 가지다. 집중모멘트 작용점에서는 모멘트 값이 뛰므로 수직으로 점프시킨다. 캔틸레버는 고정단에서 최대 모멘트가 생기므로 자유단에서 고정단 쪽으로 값이 커진다.

5. 관련 법령·기준·표준

모멘트도 작성 방법 자체를 정한 법령은 없다. 법령은 설계하중과 하중조합을 정하고, 구조해석은 건축구조기준 체계의 해석 조항을 따른다. 건축물의 구조기준은 「건축법」에 근거하며, 세부 기준은 「건축물의 구조기준 등에 관한 규칙」이 위임한다. 설계하중은 건축구조기준의 하중 계열(KDS 41), 재료별 설계는 콘크리트·강구조 계열(KDS 14)을 따른다. 기준 명칭은 현행 KDS 체계로 쓴다.

아래 표는 모멘트도 작도에서 자주 쓰는 기준 해석값이다. 값은 단위와 하중 조건을 함께 읽어야 한다.

표의 값은 정정 구조와 양단고정보의 기본 해석값이다. 부정정 골조는 강성비에 따라 단부 모멘트가 나뉜다. 이때 부재 강성은 휨강성 EI와 길이 L의 비인 EI/L로 비교한다. 모멘트 분배법에서도 필요한 것은 개별 강성값이 아니라 부재 사이의 강성 비율이다.

표의 값을 쓸 때는 세 가지를 확인한다. 첫째, 하중이 등분포인지 집중인지 구분한다. 둘째, 지점이 고정인지 단순인지 확인한다. 셋째, 모멘트의 부호 규약을 도면과 맞춘다. 이 세 가지가 맞아야 모멘트도의 극값과 부호가 정확해진다.