비선형 트러스 변형

왜 배우는가: 비선형 트러스는 부재가 탄성 한계를 넘어 재료 자체가 비선형으로 거동하므로 선형 해석의 가정이 무너진다. 실무에서 고강도 합금이나 소성 거동이 큰 부재의 변형을 예측하려면 응력-변형률 곡선의 접선계수로 강성을 갱신하는 절차가 필요하다. 시험에서는 부정정 트러스와 결합되어 하중-변위 관계를 유도하는 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제101회 3교시 1번, 제92회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

비선형 트러스 변형은 부재의 응력-변형률 관계가 직선이 아닐 때, 접선계수로 부재 강성을 갱신하며 절점 변위를 구하는 해석이다.

• 비선형 재료
• 접선계수(접선탄성계수, Tangent modulus)
• 응력-변형률 곡선
• 부정정 트러스
• 적합조건
• 평형조건
• 하중-변위 관계
• 증분 해석

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 트러스 부재가 늘어나는 양이 힘에 비례하지 않을 때 그 비례 상수를 매번 새로 잡아 계산하는 것이다. 부재가 작은 힘에서는 탄성 직선을 따르지만, 하중이 커지면 곡선을 따라 늘어나기 때문에 강성이 줄어든다.

정식 정의는 다음과 같다. 접선계수는 응력-변형률 곡선 위의 임의의 점에서 그 점의 기울기이다. 수식으로는 E_t = d\sigma / d\varepsilon 이다. 여기서 \sigma는 응력(MPa), \varepsilon는 변형률(무차원)이다. 비례한계 아래에서는 접선계수가 탄성계수 E와 같다.

비선형 트러스 해석에서 핵심은 부재 강성이다. 선형 해석에서는 EA/L 하나로 부재 강성을 쓰지만, 비선형에서는 현재 응력 상태에서의 접선계수 E_t를 써서 E_tA/L로 바꾼다. 이 값이 절점 변위 증분과 부재력 증분을 잇는다.

부정정 트러스는 부재 수가 많아 힘의 분배가 정해지지 않는 구조다. 따라서 평형조건만으로 풀 수 없고, 부재 변형이 기하학적으로 맞아야 한다는 적합조건이 함께 필요하다. 비선형 재료에서는 적합조건과 재료의 비선형 관계를 같이 만족하는 해를 찾아야 한다.

접선계수 E_t = d\sigma/d\varepsilon

3. 등장 배경과 필요성

선형 탄성 해석은 응력이 비례한계 안에 있다는 가정 위에 있다. 그러나 고강도 알루미늄 합금, 강재의 항복 이후 구간, 큰 변형을 받는 가설 구조물에서는 이 가정이 맞지 않는다. 선형 해석으로 처짐을 예측하면 실제보다 작은 변위가 나와 안전 여유를 잘못 판단할 수 있다.

이 때문에 재료 비선형을 반영하는 해석법이 필요해졌다. 응력-변형률 곡선이 주어지면 하중 단계마다 부재의 접선계수를 구하고, 그 값으로 부재 강성을 다시 계산하는 방식이 일반화되었다. 트러스는 부재가 축력만 받으므로 이 절차가 비교적 단순하게 적용된다.

또한 부정정 구조에서는 한 부재의 강성 저하가 다른 부재의 힘 분담을 바꾼다. 따라서 비선형 거동을 정확히 보려면 구조 전체의 평형과 적합을 함께 풀어야 한다. 이 이유로 시험은 하중별 절점 변위를 구하거나, 부재 응력과 하중의 관계를 변위의 함수로 표현하도록 요구한다.

4. 구성요소·원리·절차

비선형 트러스 변형 문제는 부재의 응력-변형률 관계가 직선이 아니므로 접선탄성계수(Tangent modulus) 를 이용해 부재 강성을 정의하고, 하중과 변위 사이의 관계를 반복 계산으로 구한다. 구성요소는 다음과 같다.

접선탄성계수는 응력-변형률 곡선 위 임의 점에서의 기울기로, E_t=\dfrac{d\sigma}{d\varepsilon} 로 정의한다(σ: 응력, ε: 변형률). 비례한계 이하에서는 영계수 E와 같고, 그 위에서는 변형률에 따라 값이 바뀐다. 비선형 해석에서는 이 값을 현재 변형 상태에서 갱신하며 부재 강성을 계산한다.

부재 강성은 접선탄성계수 E_t 와 단면적 A, 길이 L로 k=E_tA/L 로 둔다

원리는 다음과 같다. 트러스 부재의 축변형 \delta=\varepsilon L 이므로, 절점 변위가 정해지면 부재 변형률이 정해진다. 그 변형률에 대응하는 응력이 곡선에서 읽히고, 힘은 N=\sigma A 로 구한다. 절점에서 힘의 평형식을 세우면 하중과 변위 관계식이 나온다. 이 관계식은 변위에 대해 비선형이므로, 하중단계를 나누어 증분법이나 뉴턴-랩슨 반복으로 푼다.

절차는 다음과 같다.

• 부재의 응력-변형률 관계(곡선 또는 근사식)를 확정한다.
• 절점 변위를 가정하고 각 부재의 변형률 \varepsilon=\delta/L 을 계산한다.
• 곡선에서 응력과 접선탄성계수 E_t 를 구하고 부재력 N=\sigma A 를 계산한다.
• 절점 평형식의 잔차 힘을 구한다.
• 잔차가 허용오차 이내가 될 때까지 변위를 갱신하며 2~4 를 반복한다.
• 수렴한 변위로 부재력과 반력을 정리하고, 하중 단계별 결과를 모은다.

부정정 트러스에서는 적합 조건을 함께 쓴다. 외적 부정정이면 지점 반력을, 내적 부정정이면 부재력을 미지수로 두고 변형의 합이 기하 조건과 맞도록 식을 세운다. 선형 해석과 달리 중첩의 원리가 성립하지 않으므로, 하중 크기마다 별도로 계산해야 한다.

변위 증분 수렴 기준은 해석 목적에 따라 정하며 값은 문항 조건을 따른다.

5. 관련 법령·기준·표준

비선형 트러스 해석은 특정 법령의 조문을 적용하는 문제가 아니라, 재료 시험과 해석 이론을 따른다. 관련 기준의 성격은 다음과 같다.

응력-변형률 곡선은 공칭응력(시편 초기 치수 기준)과 공칭변형률로 그린다. 시험 중 단면 변화를 반영한 진응력-진변형률 곡선은 공칭 곡선과 다르게 나타난다. 해석에서는 문항이 제시한 곡선의 정의를 그대로 따른다.

Ramberg-Osgood 식은 비선형 곡선을 근사하는 대표 식이며, 이 식에서 접선탄성계수를 유도할 수 있다. 식의 계수는 재료 시험으로 정한다. 비례한계 이상 영역에서는 접선탄성계수가 변형률과 함께 감소하는 것이 일반적이다.

기준값 정리는 다음과 같다.

이 표의 값은 이론식이며, 단위는 N, m, Pa 를 기준으로 쓴다. 비선형 곡선의 구체 수치는 문항이 준 자료에서 가져온다.

6. 유형과 비교

비선형 트러스 변형 문제는 부재 재료가 선형인지 비선형인지, 구조물이 정정인지 부정정인지에 따라 풀이 방법이 달라진다. 먼저 유형을 나누고 각 유형의 해석 방법을 비교한다.

위 표처럼 선형 재료에서는 탄성계수가 상수이므로 중첩이 성립한다. 비선형 재료에서는 탄성계수가 변형에 따라 달라지므로 중첩이 성립하지 않는다.