연속보 처짐형상

왜 배우는가: 연속보는 중간지점이 있어 정정보와 달리 부정정 구조이며, 하중이 작용할 때 경간마다 처짐 방향과 크기가 달라진다. 처짐 형상을 개략적으로 그릴 수 있어야 휨모멘트의 부호, 반곡점 위치, 지점 반력의 방향을 빠르게 판단할 수 있다. 이 능력은 구조역학 시험에서 그림 문항으로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제131회 1교시 4번, 제108회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

연속보 처짐 형상은 지점에서 처짐이 0이고 하중이 작용한 경간이 가장 크게 처지며, 인접 경간은 반대 방향으로 휘는 곡선을 말한다.

• 연속보
• 탄성곡선
• 반곡점(변곡점)
• 지점 조건
• 부모멘트
• 정모멘트
• 처짐 형상

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 연속보는 긴 보를 여러 개의 지점으로 받친 보다. 하중을 받으면 보는 아래로 휘어지고, 각 지점은 위로 누르는 힘을 받는다. 그래서 지점 위에서는 보가 위로 볼록하게 휘고, 경간 가운데에서는 아래로 볼록하게 휜다. 이 두 휨 방향이 바뀌는 점이 반곡점이다.

정식 정의는 다음과 같다. 연속보는 세 개 이상의 지점으로 지지되어 부정정 구조가 되는 보다. 부정정이란 정역학 평형 방정식만으로 반력과 부재력을 구할 수 없고, 변형 적합 조건을 함께 써야 해석되는 구조를 뜻한다. 따라서 처짐 형상도 각 경간의 강성과 지점 구속 조건이 함께 결정한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다. 탄성곡선은 하중을 받은 보의 축이 변형된 뒤 이루는 곡선이다. 반곡점은 휨모멘트가 0이 되어 곡률의 부호가 바뀌는 점이다. 반곡점에서는 섬유응력이 0이므로 휨철근 배근 위치를 정할 때 기준이 된다. 동일 부재에서 같은 강성 EI를 가진 두 경간이라면, 하중이 작용한 경간의 처짐이 크고 다른 경간의 처짐은 그보다 작다. 지점 조건은 힌지·롤러·고정 지지를 구분하며, 중간 지점은 처짐을 0으로 구속한다.

지점에서 처짐 0

처짐 형상을 그릴 때는 세 가지 원칙을 지킨다. 첫째, 모든 지지점에서 수직 처짐은 0이다. 둘째, 지점 사이 경간은 하중 방향으로 볼록하게 휜다. 셋째, 인접 경간은 중간 지점을 기준으로 서로 반대로 휠 수 있다. 지점 침하가 있으면 그 지점도 0이 아니라 침하량만큼 아래로 내려간다.

3. 등장 배경과 필요성

단순보는 한 경간에 하나의 지지점만 있어 처짐 형상이 단순하다. 그러나 건물 바닥과 교량은 지점을 여러 개 두어 보의 최대 휨모멘트와 처짐을 줄인다. 이렇게 하면 같은 단면으로 더 긴 스팬을 얻을 수 있다. 연속보는 정정보보다 최대 정모멘트가 작고 처짐이 작으며, 지점 위에 부모멘트가 생긴다.

그러나 해석은 복잡해진다. 중간 지점이 늘면 부정정 차수가 올라가고, 처짐각법·모멘트분배법·강성행렬법 같은 해석법이 필요하다. 처짐 형상을 미리 그릴 수 있으면 부모멘트 위치와 반곡점 위치를 예측할 수 있어 해석 결과를 검토하는 데 도움이 된다. 또한 철근콘크리트 연속보에서 상부 철근은 지점 부근에, 하부 철근은 경간 중앙에 배근하는 근거가 된다.

처짐 형상 스케치는 모멘트도의 부호와 반곡점을 판단하는 출발점이다.

따라서 이 문항은 계산보다 원리 이해를 묻는다. 지점 조건을 정확히 표시하고, 하중 위치를 기준으로 경간별 처짐 크기를 비교하며, 반곡점 위치를 명확히 나타내는 것이 답안의 핵심이다.

4. 구성요소·원리·절차

연속보는 세 개 이상의 지점으로 받쳐진 보다. 집중하중이 한 경간에 작용하면 재하된 경간은 아래로 처지고, 인접 경간은 지점 회전 때문에 반대 방향으로 휘는 변형이 생긴다. 처짐 형상을 그릴 때 이 반곡점(contraflexure)의 위치와 부호 변화를 먼저 잡아야 한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

표 아래 설명: 중간 지점은 수직 변위가 0이지만 회전각은 0이 아니다. 그래서 양쪽 경간의 처짐 곡선은 중간 지점에서 기울기가 같지 않은 상태로 만난다. 그림을 그릴 때 이 꺾임을 표현해야 한다.

원리는 다음과 같다. 연속보의 중간 지점 위에는 부(-)의 휨모멘트가 생긴다. 이 모멘트는 지점 위쪽을 당기는 방향이며, 보의 윗면을 인장으로 만든다. 경간 중앙 근처에는 정(+)의 모멘트가 생겨 아랫면이 인장이 된다. 따라서 처짐 곡선은 하중이 작용한 경간에서는 아래로 볼록한 모양(sagging)이고, 지점 근처에서는 위로 볼록한 모양(hogging)으로 바뀐다. 이 두 구간 사이에 반곡점(contraflexure)이 생긴다. 반곡점은 휨모멘트가 0인 점이며, 곡률 방향이 바뀌는 점이다.

집중하중 하나가 한 경간에 작용하는 경우 처짐 형상은 다음 특징을 가진다.

• 재하 경간: 하중점에서 최대 처짐이 생기고, 그 경간 전체가 아래로 처진다.
• 무재하 경간: 중간 지점의 회전 때문에 위로 들리는 형상이 생기며, 처짐은 재하 경간보다 작다.
• 단부 지점: 힌지나 롤러라면 수직 변위가 0이다. 지점 회전각은 허용된다.

재하 경간은 아래로, 무재하 경간은 지점 회전 때문에 반대 방향으로 휜다

처짐 형상을 개략적으로 구하는 절차는 다음과 같다.

• 지점 조건을 확인하고 수직 변위가 0이 되는 점을 표시한다.
• 하중이 작용한 경간을 찾고, 그 경간을 아래로 볼록하게 그린다.
• 중간 지점의 부모멘트 방향을 판단하여 지점 위쪽이 볼록해지는 구간을 표시한다.
• 모멘트가 0이 되는 반곡점 위치를 정하고 곡률 방향이 바뀌는 곳을 그린다.
• 인접 경간의 지점 회전각을 고려하여 무재하 경간이 반대로 들리는 형상을 그린다.
• 두 경간의 길이와 강성이 같으면 최대 처짐을 비교하여 재하 경간이 더 크게 처지도록 그린다.

처짐각법으로 지점 회전각을 구하면 처짐 형상의 크기를 정량적으로 비교할 수 있다. 부재의 고정단 모멘트와 절점 평형식을 세우면 된다. 다만 개략도에서는 모양만 맞으면 충분하다.

공식은 다음과 같이 정리된다. 집중하중 P가 길이 L의 단순보 중앙에 작용할 때 최대 처짐은 \delta = \frac{PL^3}{48EI}이다. 여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 단면2차모멘트(mm⁴)이다. 연속보의 처짐은 이 값보다 작게 나타난다.

도식:

5. 관련 법령·기준·표준

연속보의 처짐 형상은 설계기준 자체의 수치보다 구조역학의 해석 원리에 따라 그린다. 다만 처짐 검토에는 설계기준의 허용 처짐 값을 함께 쓴다. 건축구조 설계에서 처짐 한계는 「건축구조기준(KDS)」의 사용성 검토 규정을 따른다.

아래 표는 처짐 검토에 쓰는 대표 기준값이다. 값과 적용 조건을 함께 기억한다.

표 아래 설명: 처짐 한계는 부재의 사용성을 확보하기 위한 값이다. 연속보는 부정정 구조이므로 같은 스팬의 단순보보다 처짐이 작게 나타난다. 처짐 계산에는 강성 EI의 값이 중요하다.

연속보의 지점 조건과 처짐 검토 기준은 다음과 같이 적용한다.

• 지점 침하가 있으면 처짐 형상에 추가 변형이 생긴다. 이 경우 침하량을 처짐각법 식에 반영한다.
• 지점 침하를 무시하는 경우에도 사용성 한계는 만족하도록 확인한다.
• 장기 처짐은 콘크리트의 크리프와 건조수축의 영향을 포함한다. 이 값은 설계기준의 계수로 증폭하여 적용한다.

처짐 한계는 설계기준의 사용성 규정으로 판정하고, 개략 형상은 반곡점 원리로 그린다