모드별 밑면전단력

왜 배우는가: 모드별 밑면전단력은 응답스펙트럼해석법에서 각 모드의 응답을 결합해 설계 지진력을 얻는 핵심 단계다. 다층 건축물의 내진설계에서 모드 중첩의 출발점이므로 실무와 시험 모두에서 반복해 다뤄진다.

출제 이력: 제125회 4교시 3번, 제115회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

모드별 밑면전단력은 구조물의 각 고유모드가 지진에 응답할 때 그 모드가 밑면에 주는 전단력으로, 모드의 유효질량과 설계응답스펙트럼 가속도를 곱해 구한다.

• 응답스펙트럼해석법
• 고유주기
• 모드형상(모드벡터)
• 모드 유효질량
• 모드 밑면전단력
• 모드 중첩(SRSS·CQC)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 건물을 한 번에 흔드는 힘이 아니라 여러 가지 흔들림 모양(모드)으로 나눠서 각각의 힘을 구하고 마지막에 합치는 방법이다. 모드 하나는 특정 고유주기와 모양을 가진 진동이며, 그 모양에 따라 질량이 움직이는 정도가 다르다.

정식 정의는 다음과 같다. 모드 밑면전단력은 n차 모드의 응답을 설계응답스펙트럼에서 읽은 가속도와 모드 질량으로 산정한 밑면 전단력이다. 여기서 모드 질량은 해당 모드의 형상벡터와 층질량으로 정해지는 유효질량이다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

• 모드벡터(모드형상): 각 층이 그 모드에서 상대적으로 움직이는 비율을 나타낸다. 보통 최대 변위를 1로 정규화하지 않은 값을 쓴다.
• 모드 참여계수: 지진 가속도가 그 모드를 얼마나 가진하는지 나타내는 값이다. 모드벡터와 층질량의 곱으로 구한다.
• 모드 유효질량: 해당 모드가 건물 전체 질량 중 실제로 움직이는 양이다. 전체 질량에 대한 비율로 판단한다.
• 모드 중첩: 모드별 응답을 절댓값 합, 제곱합의 제곱근(SRSS), 완전 2차 조합(CQC) 등으로 합치는 과정이다.

3. 등장 배경과 필요성

등가정적해석은 건물을 1차 모드 중심으로 단순화한다. 높이가 크거나 질량 분포가 불규칙한 건물은 고차 모드의 영향이 커서 이 방법으로는 응답을 충분히 설명하지 못한다. 이 한계를 보완하기 위해 응답스펙트럼해석법이 도입됐다.

응답스펙트럼해석법은 모드마다 고유주기에 맞는 스펙트럼 값을 읽어 응답을 얻는다. 따라서 각 모드가 밑면에 주는 전단력을 따로 구하는 과정이 필요하다. 이 과정이 모드별 밑면전단력이다.

또 구조물의 주기가 짧거나 긴 영역에 따라 스펙트럼 값이 달라진다. 그래서 모드마다 주기를 따로 보고 가속도를 읽는 절차가 필수다. 해석 결과에서 모드 개수가 부족하면 참여 질량이 부족해져 설계 지진력이 과소평가될 수 있다.

설계 기준: 해석 모드는 누적 유효질량이 전체 질량의 관련 기준이 정한 비율 이상이 되도록 충분히 포함한다(내진설계 기준 응답스펙트럼해석 규정 기준).

다음은 모드 중첩의 흐름이다.

이 흐름에서 각 모드의 밑면전단력은 다음 식으로 표현한다.

$V_n = C_{s,n} \cdot W_n^{*}$

여기서 V_n은 n차 모드 밑면전단력(kN), C_{s,n}은 n차 모드 주기에서 설계응답스펙트럼으로 읽은 응답계수, W_n^{*}은 n차 모드 유효질량(kN)이다.

4. 구성요소·원리·절차

응답스펙트럼해석법에서 모드별 밑면전단력은 각 고유모드가 기여하는 지진력의 크기를 나타낸다. 건물은 여러 모드로 진동하므로 모드마다 밑면전단력을 구한 뒤 조합해 전체 응답을 얻는다. 각 모드의 기여는 모드 질량, 모드벡터, 해당 주기의 설계응답스펙트럼 값으로 결정된다.

모드 질량과 모드벡터는 구조물의 고유진동 특성을 나타내는 핵심 입력이다. 모드벡터는 각 층의 상대 변위 형상이며, 기준화 방식에 따라 값이 달라진다. 따라서 모드 질량과 모드벡터는 같은 기준화 방식으로 계산한 값을 함께 써야 한다.

모드 참여계수는 다음과 같이 쓴다.

$\Gamma_n = \frac{\sum_i m_i \phi_{i,n}}{\sum_i m_i \phi_{i,n}^2}$

여기서 m_i는 i층 질량(kg 또는 kN·s²/m), \phi_{i,n}은 모드 n의 i층 모드벡터(무차원)이다.

모드 n의 밑면전단력은 다음 순서로 구한다.

• 모드 n의 고유주기 T_n을 구한다.
• 설계응답스펙트럼에서 T_n에 해당하는 응답 가속도 S_{a,n}을 읽는다.
• 모드 참여계수 \Gamma_n을 계산한다.
• 모드 밑면전단력 V_n = \frac{S_{a,n}}{R}\,I_E\,\Gamma_n\sum_i m_i \phi_{i,n}을 구한다.
• 층별 모드 지진력 F_{i,n} = \frac{S_{a,n}}{R}\,I_E\,\Gamma_n\, m_i \phi_{i,n}을 구한다.
• 모든 모드의 결과를 SRSS 또는 CQC로 조합한다.

모드 밑면전단력은 모드 질량, 모드벡터, 스펙트럼 가속도의 곱으로 정해진다

도식은 계산 흐름을 보인다.

5. 관련 법령·기준·표준

설계 밑면전단력의 기준은 건축물 내진설계 기준(KDS 41 17)에 있다. 응답스펙트럼해석법에서 모드 밑면전단력은 설계응답스펙트럼과 반응수정계수를 함께 적용한다. 주요 기준값은 다음 표와 같다.

모드 조합에서 밑면전단력 최소값 검토가 필요하다. 해석 결과의 밑면전단력이 등가정적 해석 값의 일정 비율보다 작으면 하중을 비례 증폭한다. 이 비율은 정형·비정형 구조와 내진설계범주에 따라 다르다.

응답스펙트럼 값은 감쇠가 클수록 작아진다. 건축물에는 보통 감쇠 5%를 적용한다. 문항에서 감쇠가 없다고 가정하면 스펙트럼 값을 5% 감쇠 기준 그대로 쓰면 안 된다. 이 경우 문항의 가정에 맞는 스펙트럼 값을 사용해야 한다.

반응수정계수는 탄성 응답을 설계 하중으로 낮추는 계수이며, 골조 종류마다 값이 다르다. 한 모드의 계산에서도 같은 R을 적용한다.

6. 유형과 비교

모드별 밑면전단력을 구할 때 쓰는 해석 방법은 등가정적해석법, 응답스펙트럼해석법, 시간이력해석법으로 나뉜다. 세 방법은 지진력을 산정하는 방식과 고려하는 진동 모드 수가 달라 답안에서 구분해 서술해야 한다.

위 표는 세 해석법의 기본 차이를 보여준다. 응답스펙트럼해석법은 모드별 응답을 먼저 구하고 SRSS 또는 CQC 등으로 조합하므로 모드별 밑면전단력 개념이 여기서 핵심이 된다.

다음 표는 모드 조합 방법을 비교한다. 절대합(absolute) 방법은 각 모드의 최대값을 그대로 더하므로 보수적이다. 제곱합제곱근(SRSS) 방법은 모드 간 독립을 가정하여 제곱 합의 제곱근을 취한다. 완전이차조합(CQC) 방법은 근접한 고유주기 모드 사이의 상관을 고려한다.