압축재 탄성·비탄성좌굴

왜 배우는가: 압축재의 좌굴은 강도 설계에서 응력이 항복강도에 도달하기 전에 파괴를 지배하므로, 기둥 설계의 출발점이 된다. 탄성좌굴과 비탄성좌굴을 구분하지 못하면 세장비에 따른 설계 강도 산정 식을 잘못 고르게 되며, 기술사 시험에서는 오일러 식 유도와 세장비 구간 구분이 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제116회 3교시 3번, 제98회 1교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

압축재의 좌굴은 축압축력이 한계에 이르러 부재가 횡방향으로 급격히 휘며 내력을 잃는 현상이고, 응력이 비례한계 이하이면 탄성좌굴, 초과하면 비탄성좌굴이다.

• 탄성좌굴, 비탄성좌굴, 오일러 좌굴하중, 세장비, 한계세장비, 접선 탄성계수(Et), 유효좌굴길이계수(K), 잔류응력

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 긴 막대를 세워 누르면 어느 순간 재료가 부서지기 전에 옆으로 휘어 버린다. 이 현상이 좌굴이다. 좌굴이 일어나는 순간의 축력을 임계하중이라고 한다.

정식으로는 탄성 재료로 된 완전한 직선 기둥에 축하중이 작용할 때, 그 하중이 임계값에 이르면 횡변위가 급격히 생기면서 평형이 불안정해지는 현상을 좌굴이라 한다. 이때의 임계하중을 오일러 좌굴하중(탄성좌굴하중)이라 한다. 좌굴하중은 재료의 강도와 무관하고 탄성계수 E, 단면 2차모멘트 I, 길이와 지지조건에 의해 정해진다.

탄성좌굴은 부재의 응력이 비례한계 이하인 탄성 범위에서 발생하는 좌굴이다. 오일러 식으로 하중을 구한다. 세장할수록 탄성좌굴이 지배한다.

비탄성좌굴은 임계응력이 비례한계를 넘어 재료가 비선형 거동을 할 때 생기는 좌굴이다. 응력이 커지면 재료의 접선 탄성계수가 탄성계수 E보다 작아지므로, 탄성 가정으로 구한 하중보다 낮은 값에서 좌굴한다. 이때는 접선 탄성계수 Et를 써서 보정한다.

세장비(λ = KL/r)는 유효길이를 단면의 최소 회전반경으로 나눈 값이다. 세장비가 클수록 좌굴에 약하다. 세장비가 탄성좌굴과 비탄성좌굴의 경계를 정하며, 이 경계값이 한계세장비다.

유효좌굴길이계수 K는 양단 지지조건에 따라 실제 길이를 등가 길이로 환산하는 계수다. 양단 핀은 K=1.0, 양단 고정은 K=0.5, 일단 고정·타단 핀은 K=0.7, 일단 고정·타단 자유는 K=2.0이다.

핵심 관계는 다음과 같다. 오일러 임계응력은 $F_{cr}=\dfrac{\pi^2 E}{\left(KL/r\right)^2}$ 이며, 여기서 E는 탄성계수(MPa), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재길이(mm), r은 최소 회전반경(mm)이다. 이 식은 세장비 \lambda=KL/r에 대해 F_{cr}=\pi^2E/\lambda^2로 쓸 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

오일러는 1757년에 좌굴 미분방정식으로부터 중심 압축력을 받는 기둥의 탄성좌굴하중을 구하였다. 그 결과 좌굴하중이 재료 강도와 무관하다는 사실이 밝혀졌다. 이 이론은 긴 기둥의 거동을 설명하는 기초가 되었다.

그러나 실제 강구조 부재는 잔류응력, 초기 휨, 편심 같은 불완전성을 가진다. 강재의 응력-변형률 관계도 항복점 이하에서 엄밀히 선형이 아니다. 따라서 짧거나 중간 길이 부재는 오일러 식으로 구한 값이 실제보다 크게 나온다. 이 차이를 보정하기 위해 비탄성좌굴 개념이 필요해졌다.

잔류응력은 용접이나 열간압연 후 냉각 속도 차이로 생긴다. 잔류응력이 있으면 더 낮은 압축력에서 이미 비탄성 영역에 들어가므로 좌굴에 불리하다. 또한 편심 축하중이나 초기 곡률이 있으면 축응력과 휨응력이 함께 작용하여 강도가 저하된다.

강구조 설계에서는 부재의 세장비를 먼저 확인하고, 탄성좌굴 식과 비탄성좌굴 식 중 하나를 골라 설계 강도를 구한다. 이 판단 기준이 이 개념을 설계 실무에 연결하는 이유다.

4. 구성요소·원리·절차

압축재의 좌굴 거동은 부재가 받는 힘이 임계하중(critical load)에 이르렀을 때 갑자기 휘는 불안정 현상이다. 이를 설명하려면 부재를 구성하는 요소와 좌굴이 일어나는 원리, 그리고 설계에서 좌굴강도를 구하는 절차를 함께 알아야 한다.

구성요소는 다음 네 가지로 정리한다.

표의 마지막 행은 설계 강도를 떨어뜨리는 요인이다. 잔류응력은 용접이나 열간압연 뒤 냉각 차이에서 생기며, 보다 낮은 압축력에서 부재를 비탄성 영역으로 옮긴다.

좌굴의 원리는 평형 상태의 변화로 설명한다. 양단 핀 지지 기둥에 중심축하중 P가 작용할 때, 곧은 상태(처짐 v = 0)와 약간 휜 상태가 모두 평형을 이루는 하중이 있다. 그 하중이 임계하중 Pcr이다. 하중이 Pcr보다 작으면 원래 형태로 복원되고, Pcr에 도달하면 횡변위가 급격히 커진다.

탄성좌굴 하중은 휨미분방정식 EI(d²v/dx²) + Pv = 0 에서 유도한다. 경계조건 v(0) = v(L) = 0 을 적용하면 가장 작은 해는 다음과 같다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 최소 단면2차모멘트(mm⁴), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재길이(mm)이다. 임계응력은 F_cr = P_cr/A 이고, 세장비 λ = KL/r 로 쓰면 F_cr = π²E/λ² 이 된다.

좌굴 형태는 단면에 따라 달라진다. 휨좌굴은 약축 방향으로 일어나고, 비틀림좌굴은 매우 세장한 2축대칭 단면에서, 휨-비틀림좌굴은 비대칭 단면에서 일어난다.

설계에서 좌굴강도를 구하는 절차는 다음과 같다.

• 부재의 최소 단면2차반경 r 과 유효길이 KL 을 정한다.
• 세장비 λ = KL/r 을 계산한다.
• 한계세장비와 비교해 탄성좌굴인지 비탄성좌굴인지 판정한다.
• 탄성 영역이면 F_cr = π²E/λ² 을 쓰고, 비탄성 영역이면 접선계수 Et 또는 잔류응력을 고려한 경험식을 쓴다.
• 공칭압축강도 P_n = F_cr·A 를 구하고 설계 기준의 저항계수를 곱한다.

이 절차에서 세장비가 판정 기준이 되고, 유효좌굴길이계수가 경계 조건을 반영한다. 두 값을 정확히 잡는 것이 좌굴강도 계산의 출발점이다.

도식 1개(절차 흐름):

5. 관련 법령·기준·표준

압축재 설계는 강구조 설계기준(KDS 14 30 계열)을 따른다. 기준은 세장비에 따라 좌굴응력 식을 나누고, 저항계수와 잔류응력 영향을 함께 규정한다. 아래 표는 학습에 필요한 핵심 기준값이다.

표의 한계세장비는 항복강도 F_y 로 정해진다. 세장비가 한계값보다 크면 오일러 식이, 작으면 비탄성 식이 적용된다.

개정 연혁은 강구조 설계기준의 체계 변경(허용응력설계에서 한계상태설계로의 전환 등)을 따른다. 세부 개정 내용은 본 절에서 다루지 않는다.

흔한 혼동

탄성계수 E와 접선계수 Et는 구분한다. 탄성 범위에서는 둘이 같고, 비례한도를 넘으면 Et 가 E 보다 작아진다.

6. 유형과 비교

압축재의 좌굴은 세장비와 재료 상태에 따라 탄성좌굴과 비탄성좌굴로 나뉘며, 단면 형상에 따라 휨좌굴·비틀림좌굴·휨-비틀림좌굴로도 나뉜다. 먼저 좌굴 거동의 기준이 되는 탄성좌굴과 비탄성좌굴을 비교한다.