트러스 좌굴 및 붕괴강도

왜 배우는가: 트러스 부재는 압축을 받으면 강도보다 좌굴로 먼저 무너지는 경우가 많아, 각 부재의 좌굴하중을 먼저 구해야 골조 전체의 붕괴하중을 판정할 수 있다. 기술사 시험에서는 부재력 계산과 오일러 좌굴하중 계산을 한 문제에 묶어 묻는 경우가 반복된다.

출제 이력: 제128회 2교시 6번, 제100회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

트러스 좌굴 및 붕괴강도는 트러스 압축부재가 오일러 좌굴하중에 도달하는 순간을 기준으로, 부재별 좌굴 순서와 골조의 최대 하중인 붕괴하중을 구하는 구조해석 개념이다.

압축재는 강도보다 먼저 좌굴되므로, 붕괴하중은 부재별 좌굴하중의 최솟값과 부재력 분포로 결정된다.

핵심 키워드

• 트러스 부재력: 절점법·절단법으로 구한 각 부재의 축력
• 오일러 좌굴하중: 세장한 압축부재의 탄성 좌굴하중
• 유효좌굴길이: 양단 구속 조건에 따른 좌굴 길이
• 세장비: 유효좌굴길이를 단면 2차 반지름으로 나눈 값
• 면내 좌굴·면외 좌굴: 트러스 평면 안과 밖의 좌굴 모드
• 붕괴하중: 첫 부재가 좌굴되는 하중 또는 구조계 전체가 불안정해지는 하중
• 상·하현재, 웨브재(복재): 트러스 부재의 역할에 따른 구분

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 트러스의 여러 부재 중 가장 먼저 휘어 버리는 압축부재가 그 트러스의 한계 하중을 정한다. 부재가 가늘고 길수록 같은 재료라도 적은 힘에 휘어진다.

정식 정의는 다음과 같다. 트러스는 축력만 받는 2력 부재로 이루어진 구조이며, 압축을 받는 부재는 좌굴에 의해 강도가 결정된다. 하중을 점차 증가시킬 때 어떤 부재의 압축력이 그 부재의 오일러 좌굴하중에 먼저 도달하면 그 부재가 좌굴하고, 그 시점의 하중이 트러스의 좌굴 기준 붕괴하중이 된다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

오일러 좌굴하중은 양단 힌지 기둥의 탄성 좌굴하중이다. 식은 P_{cr}=\dfrac{\pi^2 EI}{(KL)^2} 이며, E는 탄성계수(MPa), I는 최소 단면 2차 모멘트(mm⁴), KL은 유효좌굴길이(mm)다.

유효좌굴길이는 실제 길이 L에 양단 구속 상태를 반영하는 계수 K를 곱한 값이다. 양단 힌지는 K=1.0이다.

세장비는 \lambda=\dfrac{KL}{r} 이며, r=\sqrt{I/A} 는 최소 회전반지름(mm)이다. 세장비가 클수록 오일러 좌굴이 지배적이다.

면내 좌굴과 면외 좌굴은 트러스 평면 안에서 일어나는 변형과 평면 밖으로 일어나는 변형을 말한다. 면내 좌굴 해석에서는 평면 내 강성만 고려한다.

3. 등장 배경과 필요성

강구조 트러스는 같은 재료로 큰 스팬을 덮을 수 있어 지붕과 교량에 널리 쓰인다. 그러나 부재가 가늘어지면 압축강도가 항복강도보다 훨씬 낮아지는 좌굴 문제가 생긴다. 따라서 항복 기준만으로는 안전성을 판단할 수 없다.

초기에는 각 부재를 개별 기둥으로 보고 좌굴하중을 구했다. 그러나 트러스는 절점으로 서로 연결되어 있어 부재력이 재분배된다. 어느 부재가 먼저 좌굴하는지는 부재력의 크기와 부재의 강성·길이를 함께 고려해야 정해진다. 그래서 부재력 해석과 좌굴 판정을 한 흐름으로 묶는 방법이 필요해졌다.

설계에서는 세장한 압축부재의 좌굴 강도를 기준으로 단면을 정한다. 좌굴 검토를 빠뜨리면 항복 강도만 만족하는 설계가 되어 실제 붕괴가 먼저 일어날 수 있다. 이 때문에 시험에서는 부재력 계산 뒤에 좌굴하중을 비교해 붕괴 하중을 구하는 문제가 반복해서 나온다.

4. 구성요소·원리·절차

트러스 부재의 좌굴과 붕괴강도는 압축재가 먼저 좌굴하는지, 그 부재가 얼마의 축력에서 좌굴하는지로 결정된다. 상현재·하현재·웨브재(복재)로 구성된 트러스에서 각 부재는 두 절점을 잇는 축력부재이므로 압축 또는 인장만 받는다.

상현재와 하현재는 절점 사이 길이가 그대로 좌굴길이이므로 세장비가 크게 나온다. 웨브재는 길이가 짧아 상대적으로 좌굴에 유리하다. 그러나 압축 축력이 크면 웨브재가 먼저 좌굴할 수도 있다.

오일러 좌굴하중은 탄성 영역에서 부재 한쪽 끝이 핀인 기둥의 임계 축하중이다. 식은 다음과 같다.

$P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{(KL)^2}$

여기서 P_{cr}은 임계하중(N), E는 탄성계수(MPa), I는 최소 단면2차모멘트(mm⁴), K는 유효좌굴길이계수, L은 부재 길이(mm)다. 좌굴응력은 \sigma_{cr}=P_{cr}/A, 세장비는 \lambda=KL/r, r=\sqrt{I/A}로 구한다.

트러스 부재의 붕괴강도는 부재별 오일러강도 중 최소값으로 정한다

트러스 붕괴 절차는 다음과 같다.

• 절점법 또는 단면법으로 각 부재의 축력을 구한다.
• 압축 부재별로 최소 단면2차모멘트와 좌굴길이를 정한다.
• 각 압축 부재의 오일러강도 P_{cr}을 계산한다.
• 부재 축력과 P_{cr}의 비율이 같아지는 하중배수를 구한다.
• 가장 먼저 임계에 도달하는 부재를 찾고, 그때의 하중을 붕괴하중으로 정한다.
• 좌굴 후 해당 부재는 강성을 잃어 하중이 재분배되므로, 다음 부재의 좌굴 여부를 다시 검토한다.

세장비 λ가 한계 이하면 오일러식 적용 가능이므로, 짧은 부재는 탄성 좌굴 대신 항복강도로 지배되는지 확인해야 한다.

좌굴 전 부재력이 선형 관계를 가진다고 가정하면, 하중 P에 대한 부재력은 N_i=\alpha_i P로 쓸 수 있다. 그러면 부재 i의 좌굴 조건은 \alpha_i P_{cr,\,\text{하중}}=P_{cr,i}이므로 P_{cr,\,\text{하중}}=P_{cr,i}/\alpha_i이 된다. 여러 부재 중 이 값이 최소인 부재가 먼저 좌굴한다.

5. 관련 법령·기준·표준

트러스 압축재의 좌굴은 설계기준의 좌굴길이와 세장비 규정을 따른다. 국내 강구조 설계는 KDS 14 31 10(강구조 부재 설계기준, 하중저항계수설계법)을 기준으로 하며, 압축재의 설계압축강도는 세장비와 단면 조건으로 정한다.

오일러강도 계산에서는 문항이 제시한 E, F_y, 단면 치수를 그대로 쓰고, 좌굴길이계수 K는 부재의 단부 구속 조건에 따라 정한다. 면외좌굴을 무시하는 문항에서는 면내 좌굴 판정만 한다.

강관 단면(직경 10mm, 두께 2mm)의 단면2차모멘트는 I=\frac{\pi}{64}(D^4-d^4)로 구하며, d=D-2t=6mm이다. 이 값을 식에 대입해 부재별 P_{cr}을 얻는다.

6. 유형과 비교

트러스 부재의 좌굴과 붕괴강도는 부재의 세장비, 단부 조건, 좌굴 면(면내·면외)에 따라 달라진다. 답안에서는 상현재·하현재와 웨브재(복재)를 나누어 각각의 좌굴 길이와 오일러강도를 구분해 쓴다.